Kezdőlap


Feladat:	F.3156	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Devecsery András , Gyenes Zoltán , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Katona Zsolt , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Nagy István , Nyakas Péter , Pintér Dömötör , Prause István , Szalai-Dobos András
Füzet:	1997/november, 485 - 486. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Különleges függvények, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: F.3156

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$\frac{n^{2}}{i} - \frac{n^{2}}{i + 1} < 1$ ekvivalens $n^{2} < (i + 1) i$ -vel, tehát pontosan akkor teljesül, ha $i \geq n$ . A feltétel szerint

\begin{matrix} [\frac{n^{2}}{f (n)}] - [\frac{n^{2}}{f (n) + 1}] = 0, így \frac{n^{2}}{f (n)} - \frac{n^{2}}{f (n) + 1} < 1. \end{matrix}

Ebből

f (n) \geq n_{0}

. Vizsgáljuk

[\frac{n^{2}}{i}] + i

értékét

n \leq i \leq f (n)

esetén.
Teljes indukcióval igazoljuk, hogy ekkor

[\frac{n^{2}}{i}] + i = 2 n

.
Ha

i = n

, akkor

[\frac{n^{2}}{i}] + i = n + n = 2 n

.
Ha

[\frac{n^{2}}{i}] + i = 2 n

és

n \leq i < f (n)

, úgy

[\frac{n^{2}}{i + 1}] + i + 1 = 2 n

belátásához elég megmutatni, hogy

[\frac{n^{2}}{i}] - [\frac{n^{2}}{i + 1}] = 1

.
Mivel

i \geq n

, azért

\frac{n^{2}}{i} - \frac{n^{2}}{i + 1} < 1

; így

[\frac{n^{2}}{i}] - [\frac{n^{2}}{i + 1}] < 2

. Másrészt

[\frac{n^{2}}{i}] - [\frac{n^{2}}{i + 1}] \neq 0

, ellenkező esetben ugyanis nem

f (n)

volna a legkisebb olyan

k

egész, amelyre

[\frac{n^{2}}{k}] = [\frac{n^{2}}{k + 1}]

. Mivel

[\frac{n^{2}}{i}] - [\frac{n^{2}}{i + 1}]

természetes szám, azért valóban csak 1 lehet. Ezzel állításunkat igazoltuk.
Az

i = f (n)

esetén kapjuk:

[\frac{n^{2}}{f (n)}] + f (n) = 2 n

Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozat alapján