Kezdőlap


Feladat:	F.3154	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Bérczi Gergely , Forrai Gábor , Jáger Márta , Juhász András , Katona Zsolt , Lichtneckert Zoltán , Lippner Gábor , Lukács László , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nyul Gábor , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Prause István , Szita István , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Várady Gergő , Várkonyi Péter , Végh László , Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenlőtlenségek, Exponenciális függvények, Logaritmusos függvények, Súlyozott közép, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: F.3154

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az egyenlőtlenség $a$ , $b$ és $c$ -re nézve szimmetrikus, feltehetjük, hogy $a > b > c > 0$ . Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát a pozitív $(a - b) (a - c) (b - c)$ számmal:

\begin{matrix} (b - c) ln a + (c - a) ln b + (a - b) ln c < 0. \end{matrix}

e^{x}

és az

ln x

függvény szigorú monoton növekvő. Így az előző egyenlőtlenséggel ekvivalens:

\begin{matrix} e^{(b - c) ln a + (c - a) ln b + (a - b) ln c} < e^{0} = 1, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(e^{ln a})}^{b - c} \cdot {(e^{ln c})}^{c - a} \cdot {(e^{ln c})}^{a - b} < 1. \end{matrix}

Tovább alakítva:

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{b - c} \cdot b^{c - a} \cdot c^{a - b} < 1, \\ (1) a^{b - c} c^{a - b} < b^{a - c} . \end{matrix} \end{matrix}

Átalakításaink ekvivalensek voltak, tehát a feladat igazolásához elég (1)-et belátni. Írjuk fel a súlyozott számtani‐mértani közép közti egyenlőtlenséget (ld. Ábrahám Gábor: Nevezetes egyenlőtlenségek, Mozaik Kiadó, Szeged, 1995., 18. o.) az

a

és

c

pozitív számokra a

(b - c)

és

(a - b)

pozitív súlyokkal:

\begin{matrix} \sqrt[a - c]{a^{b - c} \cdot c^{a - b}} \leq \frac{(b - c) a + (a - b) c}{a - c} = \frac{b (a - c)}{a - c} = b . \end{matrix}

a \neq c

miatt egyrészt a jobb oldala nevezője nem lehetett

0

, másrészt egyenlőség sem állhat fenn. Mivel mindkét oldal pozitív, ekvivalens egyenlőtlenséghez jutunk, ha mindkét oldalt az

(a - c)

kitevőre hatványozzuk. Ezután a hatványozás után pedig éppen (1)-et kapjuk.