Feladat:	C.468	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Simon Zoltán
Füzet:	1997/december, 528 - 529. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Négyszög alapú egyéb hasábok, Térelemek és részeik, Vetítések, Rombuszok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/április: C.468

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $ABCD$ rombusz $CDA$ szöge ${60}^{\circ }$-os, a rombusz oldalainak hosszát jelölje $d$; ekkor a rövidebbik átlójának hossza ugyancsak $d$, hiszen az $ACD$ háromszög szabályos. A rombusz  hosszabbik  átlójának hossza $d\sqrt[]{3}$.     Két, egymást merőlegesen metsző egyenesnek egy síkra való merőleges vetületei pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha az eredeti két egyenes egyike a síkkal párhuzamos. Rombusz (speciálisan négyzet) átlói egymásra merőlegesek lévén, a metszetül kapott négyzet egyik átlója párhuzamos a hasáb alapjával.        Tekintsünk egy, a hasáb alapjával párhuzamos síkot. Forgassuk el ezt a síkot a rombusz valamelyik átlója körül addig, amíg a hasáb palástjából négyzetet metsz ki. Ez azt jelenti, hogy a négyzet átlójának hossza egyenlő a rombusz valamelyik átlójának hosszával. A 2. ábrán a hasábot az alappal nem párhuzamos négyzetátló vetítősíkjában ábrázoltuk, ahol $\alpha$ a két sík hajlásszöge. Kérdés, a rombusz melyik átlója körül forgattuk el a síkot. Tegyük fel, hogy a négyzet átlója a rombusz rövidebbik átlójával, $d$-vel párhuzamos. Ekkor az $FJH$ derékszögű háromszögből $\text{cos}\alpha =\frac{d}{d}=1$, ami ellentmondás (2.a) ábra). A négyzet átlója tehát csak a rombusz hosszabbik átlójával lehet párhuzamos, s ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{d}{d\sqrt[]{3}}=\frac{1}{\sqrt[]{3}}\mathrm{,}\text{ahonnan}\alpha \approx \mathrm{54,}{7}^{\circ }\text{(<span style="font-style: italic;">2.b) ábra</span>)}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Tudjuk, hogy egy síkidom $T$ területe és egy másik síkra való merőleges vetületének $T_v$ területe között fennáll a következő összefüggés: $T_v=T\text{cos}\alpha$, ahol $\alpha$ a két sík hajlásszögét jelöli. A vetület a rombusz, amelynek területe: $T_v=\frac{d^2\sqrt[]{3}}{2}$, a négyzet területe: $T={\left(\frac{d\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}}\right)}^2$, $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{T_v}{T}=\frac{d^2\sqrt[]{3}}{3d^2}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}\mathrm{,}\text{ahonnan}\alpha \approx \mathrm{54,}{7}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Azt most is be kell látnunk, hogy a négyzet átlójának hossza nem lehet $d$.