Kezdőlap


Feladat:	C.464	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1997/szeptember, 345 - 346. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Trapézok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: C.464

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldásához elegendő ismernünk a csonkakúp térfogatának képletét, továbbá azt, hogy ha a csonkakúpot egy, a fedőkör síkjára merőleges és középpontján átmenő síkkal elmetsszük, ez egy szimmetrikus trapézt metsz ki a csonkakúpból. A trapéz magasságvonalának felében fektetett, a magasságvonalra merőleges sík a csonkakúpot egy $2 ϱ$ átmérőjű körben metszi, s mivel ez éppen a trapéz középvonala, $2 ϱ = \frac{2 R + 2 r}{2}$ .
Az eddigiek alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} \frac{m π}{3} (R^{2} + r R + r^{2}) = 3 \frac{π}{3} \cdot \frac{m}{2} (ϱ^{2} + ϱ r + r^{2}) . \end{matrix}

(

R

a fedőkör,

r

az alapkör sugara,

m

a csonkakúp magassága). Rendezzük az egyenletet, és írjuk be az egyenletbe a

ϱ = \frac{R + r}{2}

összefüggést, kapjuk, hogy

\begin{matrix} 5 R^{2} - 4 R r - 13 r^{2} = 0. \end{matrix}

Osszuk végig az egyenletet

r^{2} \neq 0

-val, és vezessük be az

a = \frac{R}{r}

új változót. Ekkor

\begin{matrix} 5 a^{2} - 4 a - 13 = 0, a = \frac{4 + \sqrt[]{276}}{10} \approx 2,06 \end{matrix}

(csak a pozitív gyököt véve figyelembe).
Azaz

R \approx 2,06 r > 2 r = d

, vagyis az alapkör átmérője kisebb, mint a fedőkör sugara.

Megjegyzés. A beküldők nagy része nem indokolta meg, hogy a félig töltött pohár fedőkörének sugara miért egyenlő

\frac{R + r}{2}

-vel, ők 4 pontot kaptak.