Kezdőlap


Feladat:	C.462	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tirpák Miklós
Füzet:	1997/december, 527 - 528. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Négyzetszámok tulajdonságai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: C.462

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $K = {(x - a)}^{2} + {(x - b)}^{2} + {(x - c)}^{2}$ kifejezésben végezzük el a négyzetreemeléseket és a rendezést; a következő másodfokú kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} K = 3 x^{2} - 2 x (a + b + c) + a^{2} + b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

Teljes négyzetté kiegészítve:

\begin{matrix} \begin{matrix} K = 3 (x^{2} - \frac{2}{3} x (a + b + c) + \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}) = \\ = 3 [{(x - \frac{a + b + c}{3})}^{2} - {(\frac{a + b + c}{3})}^{2} + \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}] . \end{matrix} \end{matrix}

A másodfokú kifejezés a legkisebb értékét

x - \frac{a + b + c}{3} = 0

esetén veszi fel, amikor is helyettesítés és átrendezés után

\begin{matrix} K = \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2}}{3}, \end{matrix}

s ez

K

legkisebb értéke, az

x = \frac{a + b + c}{3}

helyen.

Tirpák Miklós (Tapolca, Batsányi J. Gimn., IV. o.t.)