Feladat:	C.461	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Horváth Gábor ,  Jáger Márta ,  Pataki Péter ,  Taraza Busra
Füzet:	1997/november, 481. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: C.461

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha $d$ osztója két egész számnak, akkor osztója egész számú többszöröseiknek és összegüknek (különbségüknek) is. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\left(14n+3\right)-2\left(21n+4\right)=\mathrm{1,}}\end{array}$ a számláló és a nevező minden közös osztója osztója 1-nek is; a tört ezért nem egyszerűsíthető.   II. megoldás. Vegyük figyelembe, hogy ha $\frac{a}{b}=e+\frac{c}{b}$ ($a$, $b$, $c$, $e$ egész számok), akkor $x=a-be$, $a=c+be$, tehát $a$ és $b$ minden közös osztója $c$-nek is osztója és $c$ és $b$ minden közös osztója $a$-nak is osztója; ezért $\frac{a}{b}$ akkor és csak akkor egyszerűsíthető, ha $\frac{c}{b}$ is egyszerűsíthető; nyilván ugyanez igaz $\frac{a}{b}$-re és $\frac{b}{a}$-ra is. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{21n+4}{14n+3}=1+\frac{7n+1}{14n+3}\text{és}\frac{14n+3}{7n+1}=2+\frac{1}{7n+1}\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ viszont az utolsó tört nem egyszerűsíthető, ezért ugyanez igaz az eredeti törtre is.   Megjegyzés. A feladat az I. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia első feladata volt 1959-ben. A megoldást ‐ mint több beküldőnk ‐ Reiman István Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959‐1994 c. könyvéből másoltuk! (TypoTeX kiadó, 1996)