Feladat:	C.458	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babos Attila ,  Bákor Krisztina ,  Bánfi Barnabás ,  Barók Tamás ,  Forrai Gábor ,  Forrai Miklós ,  Hegedűs Ákos ,  Jáger Márta ,  Jelinek György ,  Kaukál Terézia ,  Palatinus Miklós ,  Papp Mária ,  Pataki Péter ,  Ravasz Mária-Magdolna ,  Robotka Zsolt ,  Sarlós Ferenc ,  Terpai Tamás ,  Tóth Gábor ,  Varga Zsolt ,  Wilfing András
Füzet:	1997/október, 404 - 405. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Sokszög lefedések, Szinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: C.458

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Betűzzük meg az 1. ábra egyik téglalapjának a csúcsait $A$, $B$, $C$, $D$-vel. Láthatjuk, hogy a nagy téglalap hiányzó részeit tengelyes tükrözéssel kaphatjuk meg. Elegendő tehát az $ABCD$ téglalap felosztását vizsgálnunk. Mivel a felosztásban szereplő derékszögű háromszögek egybevágók, pl. az $A$ csúcsban 3 egyenlő szög találkozik, amelyek összege ${90}^{\circ }$, azaz a derékszögű háromszög egyik hegyesszöge ${30}^{\circ }$, a másik ${60}^{\circ }$. Jelöljük $a$-val a ${30}^{\circ }$-kal szemközti befogót. Jól ismert, hogy ekkor az átfogó $2a$, a hosszabbik befogó pedig $a\sqrt[]{3}$ hosszú. (Bizonyítható pl. a szinusztétellel.) Az $ABCD$ téglalap oldalainak hossza tehát $3a$, illetve $a\sqrt[]{3}$. Az 1. ábrán szereplő téglalap így nem lehet négyzet, hiszen oldalai $6a$ és $3\sqrt[]{3}a$.   1. ábra. Téglalap felosztása egybevágó derékszögű háromszögekre   2. ábra. Négyzet felosztása háromszögekre: nem mind egybevágó!   II. megoldás. Az előbb már láttuk, hogy az egybevágó derékszögű háromszögek egyik szöge ${30}^{\circ }$, oldalai 1, 2 és $\sqrt[]{3}$ (a rövidebbik befogót választottuk egységnyinek). Ha létezne ilyen derékszögű háromszögekből összerakható négyzet, akkor annak oldala $n+m\sqrt[]{3}$ hosszúságú lenne ($n$, $m$ természetes számok). Tegyük fel, hogy a négyzet $k$ darab háromszögből áll, akkor területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{k\sqrt[]{3}}{2}={\left(n+m\sqrt[]{3}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left(n^2+3m^2\right)=\sqrt[]{3}\left(k-2nm\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $k$, $n$ és $m$ racionális, $\sqrt[]{3}$ irracionális volta miatt csak úgy állhat fenn az egyenlőség, ha $k-2nm=0$, amiből $2\left(n^2+3m^2\right)=0$ következne, tehát $n=0$, $m=0$. A négyzet oldalára $n+m\sqrt[]{3}=0$ adódna. Ilyen négyzet tehát nem létezik.  Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)   Megjegyzés. A februári szám borítóján téglalap helyett egy négyzet szerepel. Ha alaposan szemügyre vesszük a 2. ábrát, láthatjuk, hogy a felosztásban szereplő háromszögek nem mindegyike derékszögű.