Kezdőlap


Feladat:	C.457	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csirmaz Attila , Pataki Péter , Végh Judit , Vogl Gábor
Füzet:	1997/szeptember, 345. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Számtani-mértani egyenlőtlenségek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: C.457

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy bármely pozitív szám és reciprokának összege nagyobb vagy egyenlő, mint 2. Ezt írjuk fel az $a + \frac{1}{a}$ , $b + \frac{1}{b}$ , $a b + \frac{1}{a b}$ kifejezésekre, és adjuk össze az egyenlőtlenség megfelelő oldalait. Azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + a b + \frac{1}{a b} \geq 6. \end{matrix}

Adjunk mindkét oldalhoz 2-t, és rendezzük át a bal oldalt:

\begin{matrix} 1 + a b + \frac{1}{a b} + 1 + a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} = 1 + a b + \frac{1 + a b}{a b} + \frac{1 + a b}{b} + \frac{1 + a b}{a} \geq 8. \end{matrix}

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát az

1 + a b > 0

-val végigosztva:

\begin{matrix} 1 + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = (1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) \geq \frac{8}{1 + a b}, \end{matrix}

éppen a kívánt egyenlőtlenséget kapjuk.

Megjegyzés. A feladat általánosítható az

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

pozitív számokra a következőképpen:

\begin{matrix} (1 + \frac{1}{a_{1}}) \cdot (1 + \frac{1}{a_{2}}) \cdot ... \cdot (1 + \frac{1}{a_{n}}) \geq \frac{2^{n + 1}}{1 + a_{1} a_{2} ... a_{n}} . \end{matrix}

Az állítás a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával igazolható.

Pataki Péter (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., II. o.t.)