Kezdőlap


Feladat:	C.456	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hegyi Márta
Füzet:	1997/december, 526 - 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Háromszögek egybevágósága, Háromszögek nevezetes tételei, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: C.456

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $S_{1}$ síkban $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ az a 3 egyenes, amelyik az $S_{2}$ síkkal $45^{\circ}$ -os szöget zár be. Mivel az egyenesek nem mind párhuzamosak egymással, van közöttük kettő, amelyik metszi egymást. Legyen az $e_{1}$ , $e_{2}$ metszéspontja $M$ . Feltehetjük, hogy $M$ az $S_{2}$ síkon kívül van. Toljuk el az $e_{3}$ egyenest önmagával párhuzamosan az $M$ metszéspontig, az eltolt egyenes legyen $e$ . (A párhuzamos eltolás a síkkal való hajlásszöget nem változtatja meg.) Az $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e$ egyeneseknek az $S_{2}$ síkkal való döféspontjai: $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E$ , egy egyenesen vannak: az $S_{1}$ , $S_{2}$ sík $m$ metszésvonalán. Az $M$ pontnak az $S_{2}$ síkra eső merőleges vetülete $M'$ . Az $M E_{1} M'$ , $M E_{2} M'$ , $M E M'$ háromszögek mindegyike $45^{\circ}$ -os (egyenlő szárú) derékszögű háromszög, és $M M'$ oldaluk közös. Ebből következik, hogy a háromszögek egybevágóak, így $M E_{1} = M E_{2} = M E$ . Az $M E_{1} E_{2}$ és $M E_{2} E$ egyenlő szárú háromszögekben

\begin{matrix} M E_{1} E_{2} ∢ = M E_{2} E_{1} ∢ = M E_{2} E ∢ = M E E_{2} ∢ . \end{matrix}

A két középső szög
egyenlőségéből következik, hogy

M E_{2} E_{1} ∢ = = M E_{2} E ∢ = 90^{\circ}

, de akkor az

M E E_{2} ∢

90^{\circ}

-os.

E_{1} \neq E \neq E_{2}

esetén ez azt jelentené, hogy az

M

pontból az

m

egyenesre két merőlegest is tudtunk állítani, ami lehetetlen. Az

E

döféspont tehát egybeesik az

E_{1}

E_{2}

pontok valamelyikével, azaz az

e_{3}

egyenes párhuzamos volt az

e_{1}

e_{2}

egyenesek valamelyikével. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Hegyi Márta (Budapest, Szent István Gimn., 8. o.t.)