Kezdőlap


Feladat:	C.454	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gáspár László , Gönczi Orsolya , Horváth András , Jáger Márta , Kesjár Edit , Kovács Anita , Pálóczi Anita , Sarlós Ferenc , Szilasi Zoltán
Füzet:	1997/május, 277. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökös függvények, Másodfokú függvények, Függvényvizsgálat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: C.454

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott $- 3 \leq x \leq 3$ intervallumban a kifejezés értelmezve van. Vezessük be az $a = \sqrt[]{9 - x^{2}}$ jelölést. Ekkor

\begin{matrix} f (x) = 9 - x^{2} - 2 \sqrt[]{9 - x^{2}} = a^{2} - 2 a; \end{matrix}

g (a) = a^{2} - 2 a = {(a - 1)}^{2} - 1

másodfokú függvénynek az

a = 1

helyen van minimuma. Ekkor a

\sqrt[]{9 - x^{2}} = 1

egyenletből

x_{1,2} = \pm 2 \sqrt[]{2}

, és

f (x_{1,2}) = - 1

. Mivel

2 \sqrt[]{2}

és

- 2 \sqrt[]{2}

is a megjelölt intervallumba esik, a kifejezésnek mindkét helyen minimuma van, és a minimum értéke

- 1

.
A

g (a) = {(a - 1)}^{2} - 1

függvény a

[0,1]

intervallumban szigorúan monoton fogy, az

[1,3]

intervallumban szigorúan monoton nő. Így maximumát csak az

a = 0

vagy az

a = 3

helyen veheti fel. Ha

a = 0

, akkor

\sqrt[]{9 - x^{2}} = 0

-ból

x_{3,4} = \pm 3

f (\pm 3) = 0

, ha pedig

a = 3

, akkor

\sqrt[]{9 - x^{2}} = 3

-ból

x_{5} = 0

, és

f (0) = 9 - 2 \sqrt[]{9} = 3

. Ez tehát a kifejezés maximuma a megjelölt intervallumban.

Megjegyzés. Sokan deriválással oldották meg a feladatot, de néhányan megint megfeledkeztek arról, hogy ahol a derivált nulla, ott a függvénynek szélsőértéke lehet. Azt, hogy ott van is szélsőérték, külön meg kell vizsgálni.