A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha vagy , akkor létezik potitív egész megoldás, például , illetve . Megmutatjuk, hogy más esetén nincs pozitív egész megoldás. Tegyük fel, hogy egy bizonyos esetén létezik megoldás, és tekintsünk egy olyan megoldást, amelyre minimális. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy . Először bebizonyítjuk, hogy Tekintsük (1)-et úgy, mint egy -ben másodfokú egyenletet. Ennek másik gyöke a gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viéta-formulák) alapján Az első képletből látható, hogy is egész, a második képletből pedig az látható, hogy pozitív. Ez azt jelenti, hogy (1)-nek az , , , számnégyes is megoldása. Mivel azonban minimális, , amiből (3) alapján (2) teljesül. A értékére a következő becslés ad felső korlátot: | | (4) | ebből , vagyis . Ha , , , között nincs páros, akkor a bal oldal osztható 4-gyel, viszont a jobb oldalon páratlan, következésképpen osztható 4-gyel; ez csak esetén lehetséges. Ha , , , között egy vagy három páros van, akkor a jobb oldal páros, a bal oldal páratlan, ami ellentmondás. Ha , , , között két páros van, akkor a bal oldal 4-gyel osztva 2 maradékot ad, viszont a jobb oldal osztható 4-gyel, ami szintén ellentmondás. Végül, ha , , , mind páros, akkor a (4) becslést kicsit élesebben leírva | |
Pozitív egész megoldás tehát csak λ=1 és λ=4 esetén lehetséges.
Megjegyzések. 1. A (3) képlet alapján mindkét λ értékre végtelen sok megoldás konstruálható, hiszen x, y, z, v közül valamelyiket ‐ például a legkisebbet ‐ kicserélhetjük egy nagyobb egész számra. 2. Egy nagyon hasonló egyenlet (x2+y2+z2=kxyz) vizsgálata megtalálható Jaglom‐Skljarszkij‐Csencov: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. könyvében (1. kötet, 118. feladat, Tankönyvkiadó, 1967), és a két feladat megoldása lényegében ugyanaz. Többen az ott leírt bizonyítást írták át az (1) egyenletre. Sajnos, a könyvben leírt megoldás több pontatlanságot is tartalmaz, és a versenyzők egy része ezeket nem korrigálta. Sokan ‐ a könyv nyomán ‐ a v1 számot a v1=λxyz-v képlettel definiálták, és behelyettesítéssel ellenőrizték, hogy az x,, y, z, v1 számnégyes is megoldása (1)-nek. Viszont ‐ a könyvhöz hasonlóan ‐ elfelejtették megindokolni, hogy v1 miért pozitív. (Ezek a versenyzők 4 pontot kaptak.) Ketten még a másolás gyanújába is keveredtek, mert a legkritikusabb mondatokat szó szerint másolták ki a könyvből. |