Kezdőlap


Feladat:	N.110	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Kiss Tanás , Kun Gábor , Mátrai Tamás , Pap Gyula
Füzet:	1997/március, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Oszthatósági feladatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: N.110

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $λ = 1$ vagy $λ = 4$ , akkor létezik potitív egész megoldás, például $x = y = z = v = 2$ , illetve $x = y = z = v = 1$ . Megmutatjuk, hogy más $λ$ esetén nincs pozitív egész megoldás.
Tegyük fel, hogy egy bizonyos $λ$ esetén létezik megoldás, és tekintsünk egy olyan megoldást, amelyre $x + y + z + v$ minimális. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy $x \leq y \leq z \leq v$ .
Először bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} v \leq \frac{λ x y z}{2} és v \leq \sqrt[]{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \end{matrix}

(2)

Tekintsük (1)-et úgy, mint egy

v

-ben másodfokú egyenletet. Ennek másik gyöke a gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viéta-formulák) alapján

\begin{matrix} v_{1} = λ x y z - v = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{v} . \end{matrix}

(3)

Az első képletből látható, hogy

v_{1}

is egész, a második képletből pedig az látható, hogy pozitív. Ez azt jelenti, hogy (1)-nek az

x

y

z

v_{1}

számnégyes is megoldása. Mivel azonban

x + y + z + v

minimális,

v \leq v_{1}

, amiből (3) alapján (2) teljesül.
A

λ

értékére a következő becslés ad felső korlátot:

\begin{matrix} λ x y z = x^{2} + y^{2} + z^{2} + v^{2} \leq x v + y v + z v + v \frac{λ x y z}{2} \leq (3 + \frac{λ}{2}) x y z v; \end{matrix}

(4)

ebből

λ \leq 3 + λ 2

, vagyis

λ \leq 6

.
Ha

x

y

z

v

között nincs páros, akkor a bal oldal osztható 4-gyel, viszont a jobb oldalon

x y z v

páratlan, következésképpen

λ

osztható 4-gyel; ez csak

λ = 4

esetén lehetséges.
Ha

x

y

z

v

között egy vagy három páros van, akkor a jobb oldal páros, a bal oldal páratlan, ami ellentmondás.
Ha

x

y

z

v

között két páros van, akkor a bal oldal 4-gyel osztva 2 maradékot ad, viszont a jobb oldal osztható 4-gyel, ami szintén ellentmondás.
Végül, ha

x

y

z

v

mind páros, akkor a (4) becslést kicsit élesebben leírva

\begin{matrix} λ x y z v \leq x v + y v + z v + v \frac{λ x y z}{2} \leq (\frac{3}{4} + \frac{λ}{2}) x y z v; ebbőlλ \leq \frac{3}{4} + \frac{λ}{2}, vagyisλ = 1. \end{matrix}

Pozitív egész megoldás tehát csak

λ = 1

és

λ = 4

esetén lehetséges.

Megjegyzések. 1. A (3) képlet alapján mindkét

λ

értékre végtelen sok megoldás konstruálható, hiszen

x

y

z

v

közül valamelyiket ‐ például a legkisebbet ‐ kicserélhetjük egy nagyobb egész számra.
2. Egy nagyon hasonló egyenlet

(x^{2} + y^{2} + z^{2} = k x y z

) vizsgálata megtalálható Jaglom‐Skljarszkij‐Csencov: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből c. könyvében (1. kötet, 118. feladat, Tankönyvkiadó, 1967), és a két feladat megoldása lényegében ugyanaz. Többen az ott leírt bizonyítást írták át az (1) egyenletre. Sajnos, a könyvben leírt megoldás több pontatlanságot is tartalmaz, és a versenyzők egy része ezeket nem korrigálta. Sokan ‐ a könyv nyomán ‐ a

v_{1}

számot a

v_{1} = λ x y z - v

képlettel definiálták, és behelyettesítéssel ellenőrizték, hogy az

x

y

z

v_{1}

számnégyes is megoldása (1)-nek. Viszont ‐ a könyvhöz hasonlóan ‐ elfelejtették megindokolni, hogy

v_{1}

miért pozitív. (Ezek a versenyzők 4 pontot kaptak.) Ketten még a másolás gyanújába is keveredtek, mert a legkritikusabb mondatokat szó szerint másolták ki a könyvből.