|
Feladat: |
N.109 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Kun Gábor , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Pap Gyula , Prause István , Szabó Jácint , Visontai Mirkó |
Füzet: |
1997/február,
97 - 98. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tökéletes számok, Osztók összege, Oszthatósági feladatok, Indirekt bizonyítási mód, Maradékos osztás, kongruenciák, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/szeptember: N.109 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük -szel osztóinak összegét. Ismeretes, hogy ha és relatív prímek, akkor . Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy egy alakú szám majdnem tökéletes (, ). Ekkor . Másrészt miatt , így . páratlan, mivel a fenti egyenlet jobb oldala páratlan. Ha egy páratlan számnak osztója , akkor és az osztópárja azonos paritású, így az osztópár összege páros. Ha a páratlan szám nem négyzetszám, akkor osztópárja sohasem önmaga, így a szám osztóinak összege páros. De páratlan, ezért valamely egészre. Ekkor | | ahonnan . , mert , ezért -nek nem lehet minden osztója alakú. Legyen a -nek egy alakú prímosztója, ekkor , | | tehát , ami viszont ellentmond a kis-Fermat tételnek. Ezzel az állítást igazoltuk.
Lippner Gábor (Fővárosi Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|
|