Kezdőlap


Feladat:	N.109	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Kun Gábor , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Pap Gyula , Prause István , Szabó Jácint , Visontai Mirkó
Füzet:	1997/február, 97 - 98. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletes számok, Osztók összege, Oszthatósági feladatok, Indirekt bizonyítási mód, Maradékos osztás, kongruenciák, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: N.109

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $σ (x)$ -szel $x$ osztóinak összegét. Ismeretes, hogy ha $p$ és $q$ relatív prímek, akkor $σ (p q) = σ (p) σ (q)$ .
Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy egy $2^{k} (m + 1)$ alakú szám majdnem tökéletes ( $k \geq 1$ , $m \geq 0$ ). Ekkor $σ (2^{k} \cdot (2 m + 1)) = 2^{k + 1} (2 m + 1) + 1$ . Másrészt $(2^{k}, (2 m + 1)) = 1$ miatt $σ (2^{k} \cdot (2 m + 1)) = σ (2^{k}) σ (2 m + 1) = (2^{k + 1} - 1) σ (2 m + 1)$ , így $(2^{k + 1} - 1) σ (2 m + 1) = 2^{k + 1} (2 m + 1) + 1$ .
$σ (2 m + 1)$ páratlan, mivel a fenti egyenlet jobb oldala páratlan. Ha egy páratlan számnak osztója $l$ , akkor $l$ és az osztópárja azonos paritású, így az osztópár összege páros. Ha a páratlan szám nem négyzetszám, akkor $l$ osztópárja sohasem önmaga, így a szám osztóinak összege páros. De $σ (2 m + 1)$ páratlan, ezért $2 m + 1 = b^{2}$ valamely $b$ egészre. Ekkor

\begin{matrix} (2^{k + 1} - 1) σ (b^{2}) = 2^{k + 1} b^{2} + 1, (2^{k + 1} - 1) (σ (b^{2}) - b^{2}) = b^{2} + 1, \end{matrix}

ahonnan

b^{2} \equiv - 1 (mod 2^{k + 1} - 1)

2^{k + 1} - 1 \equiv 3 (mod 4)

, mert

k \geq 1

, ezért

(2^{k + 1} - 1)

-nek nem lehet minden osztója

4 s + 1

alakú. Legyen

p

(2^{k + 1} - 1)

-nek egy

4 s + 3

alakú prímosztója, ekkor

b^{2} \equiv - 1 (mod p)

\begin{matrix} b^{p - 1} \equiv {(b^{2})}^{\frac{p - 1}{2}} \equiv {(- 1)}^{\frac{p - 1}{2}} = {(- 1)}^{2 s + 1} = - 1 (mod p), \end{matrix}

tehát

b^{p - 1} \equiv - 1 (p)

, ami viszont ellentmond a kis-Fermat tételnek. Ezzel az állítást igazoltuk.

Lippner Gábor (Fővárosi Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o.t.)