Felhasználjuk, hogy a gömbfelületen két pont között a legrövidebb görbe a két pontot tartalmazó főkörnek a két pont közötti rövidebbik íve. A $P$ és $Q$ pontokat összekötő ívet $\widehat{PQ}$-val, a hosszát $\left|\widehat{PQ}\right|$-val fogjuk jelölni.
Legyen a görbe hossza $l$, egy főkör hossza $f$. Legyen $A$ és $B$ a görbe két olyan pontja, amelyek a görbét két $\frac{l}{2}$ hosszú ívre osztják fel. Legyen $A\text{'}$ a gömb $A$-val átellenes pontja. Ha $A\text{'}=B$, akkor kész vagyunk, mert $AB$ átmérő. Tegyük tehát fel, hogy $A\text{'}\ne B$. Legyen $\text{S}$ az a sík, amely merőlegesen felezi az $A\text{'}B$ szakaszt. Ez a sík a gömbből egy főkört metsz ki, amelynek van legalább egy közös pontja a görbével; legyen az egyik ilyen pont $C$. A görbének az a fele, amelynek végpontjai $A$ és $B$, valamint tartalmazza a $C$ pontot, legalább olyan hosszú, mint az $\widehat{AC}$ és $\widehat{CB}$ ívek hosszának összege, ezért