Legyen adva $k$ darab halmaz. Tegyük fel, hogy már kiválasztottuk az $A_1$, $A_2$, $\text{...}$, $A_{n-1}$ halmazokat ($1\le n\le k$). Az $A_n$-nek válasszunk egy minimálisat a maradékból, azaz olyat, amelynek a még fennmaradó halmazok egyike sem részhalmaza; ezt megtehetjük, hiszen összesen is csak véges sok halmazunk van. Az $A_n$ kiválasztása után hagyjuk el a maradékból természetesen az $A_n$-et valamint az $A_1\cup A_n$, $A_2\cup A_n$, $A_{n-1}\cup A_n$ közül azokat, amelyek eredetileg ott voltak. Az így megmaradó halmazok közül válasszuk ki hasonlóan $A_{n+1}$-et, stb. Tetszőleges $A_i$ kiválasztásával így összesen legfeljebb $1+\left(i-1\right)=i$ darab halmazt ,,fogyasztunk el'' a készletből, tehát az első $n$ darab halmaz kiválasztása során összesen legfeljebb $1+2+\text{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ darabot. Ez azt jelenti, hogy biztosan kiválasztható ezen a módon $n$ darab halmaz, ha $k>\frac{n\left(n+1\right)}{2}$; esetünkben tehát $k>1993006$ megfelelő. Az így kiválasztott halmazok eleget tesznek a feladat követelményének: tételezzük föl ugyanis, hogy létezne olyan $A_i\mathrm{,}{A}_j\mathrm{,}{A}_{\ell }$, melyre $A_{\ell }=A_i\cup A_j$ és például $i<j$. Mivel ekkor $A_i$ és $A_j$ is részhalmaza $A_{\ell }$-nek, azért $i\mathrm{,}j<\ell$, azaz $A_{\ell }$-et az ($A_i$ és) $A_j$ megtalálása után választhattuk csak ki. Ez azonban lehetetlen, mivel $A_j$ kiválasztásakor a maradékból kiselejteztük $A_i\cup A_j$-t.