Kezdőlap


Feladat:	N.99	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Makai Márton , Pap Gyula , Pap Júlia , Sánta Zsuzsa
Füzet:	1997/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: N.99

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $i$ -edik Fibonacci-számot $f_{i}$ -vel, azaz $f_{0} = 0$ , $f_{1} = 1$ , $f_{2} = 1$ , $f_{3} = 2$ stb. Ismeretes (és az $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval könnyen igazolható), hogy $f_{n} = \frac{1}{\sqrt[]{5}} (b_{1}^{n} - b_{2}^{n})$ , ahol $b_{1} = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$ , $b_{2} = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2}$ . Ugyanígy az $L_{0} = 2$ , $L_{1} = 1$ , $L_{n + 2} = L_{n + 1} + L_{n}$ rekurzióval értelmezett sorozat elemeire $L_{n} = b_{1}^{n} + b_{2}^{n}$ teljesül. Megmutatjuk, hogy $L : = L_{2 k}$ ( $k = 0$ , 1, $...$ ) esetén fennáll $a_{n} = \frac{f_{2 k n}}{f_{2 k (n + 1)}}$ . Teljes indukciót alkalmazunk $n$ -re: $n = 0$ -ra az összefüggés nyilvánvalóan teljesül; tegyük fel, hogy $a_{n} = \frac{f_{2 k n}}{f_{2 k (n + 1)}}$ . Ekkor, felhasználva, hogy $b_{1} b_{2} = - 1$ :

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{n + 1} f_{2 k (n + 2)} = \frac{1}{L_{2 k} - a_{n}} f_{2 k (n + 2)} = \frac{f_{2 k (n + 2)}}{L_{2 k} - \frac{f_{2 k n}}{f_{2 k (n + 1)}}} = \frac{f_{2 k (n + 2)} f_{2 k (n + 1)}}{L_{2 k} f_{2 k (n + 1)} - f_{2 k n}} = \\ = \frac{1}{\sqrt[]{5}} \frac{(b_{1}^{2 k (n + 2)} - b_{2}^{2 k (n + 2)}) (b_{1}^{2 k (n + 1)} - b_{2}^{2 k (n + 1)})}{(b_{1}^{2 k} + b_{2}^{2 k}) (b_{1}^{2 k (n + 1)} - b_{2}^{2 k (n + 1)}) - (b_{1}^{2 k n} - b_{2}^{2 k n})} = \\ = \frac{1}{\sqrt[]{5}} \frac{b_{1}^{2 k (2 n + 3)} + b_{2}^{2 k (2 n + 3)} - (b_{1}^{2 k} + b_{2}^{2 k})}{b_{1}^{2 k (n + 2)} - b_{2}^{2 k (n + 2)}} = \frac{1}{\sqrt[]{5}} (b_{1}^{2 k (n + 1)} - b_{2}^{2 k (n + 1)}) = f_{2 k (n + 1)}, \end{matrix} \end{matrix}

azaz

a_{n + 1} = \frac{f_{2 k (n + 1)}}{f_{2 k (n + 2)}}

.
Mivel az

L_{1}

L_{2}

L_{3}

...

sorozat szigorúan monoton nő, a feladat állítását igazoltuk.

Több megoldás alapján