Kezdőlap


Feladat:	N.98	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Frenkel Péter , Makai Márton , Pap Gyula
Füzet:	1997/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Műveletek polinomokkal, Oszthatósági feladatok, Függvények, Függvény határértéke, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: N.98

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az, hogy egy egész együtthatós $q$ polinomra teljesül az $n ∣ q (m + n) - q (m)$ reláció, következik a

\begin{matrix} q (m + n) - q (m) = \sum_{i = 0}^{k} a_{i} ({(m + n)}^{i} - m^{i}) = n \cdot \sum_{i = 1}^{k} a_{i} \sum_{j = 0}^{i - 1} (\binom{i}{j}) m^{j} n^{i - j - 1} \end{matrix}

azonosságból. Legyen ezután (minden

t

egészre)

\begin{matrix} p (t) = \sum_{j = 0}^{\infty} (t + j) (t + j - 1) ... (t - j) . \end{matrix}

p

függvényt definiáló összeg (minden

t

egészre) csak véges sok nemnulla tagot tartalmaz, sőt, a

\begin{matrix} p_{k} (t) : = \sum_{j = 0}^{k} (t + j) (t + j - 1) ... (t - j) \end{matrix}

jelölést bevezetve látható, hogy

p (t) = p_{k} (t)

, ha

k > | t |

. Így minden

m, n

egészhez található olyan

k

természetes szám, amelyre

p (m + n) - p (m) = p_{k} (m + n) - p_{k} (m)

, és ez utóbbi

n

-nel osztható, hiszen

p_{k}

egész együtthatós polinom. A

p

függvény nem polinomfüggvény, mivel minden

n

természetes számra

\begin{matrix} p (n) \geq (n + (n - 1)) (n + (n - 2)) ... (n - (n - 1)) = (2 n - 1)! > n^{n}, \end{matrix}

ezért a

p (x) / x^{n}

függvény végtelenben vett határértéke semmilyen

n

-re sem lehet nulla.

Megjegyzések. 1. A feladat kívánalmait kielégíti a

p (x) = \frac{1}{2} (x^{4} - x^{2})

függvény is, amely polinom, de nem egész együtthatós.
2. Belátható, hogy a feladat követelményeit kielégítő függvények halmaza kontinuum számosságú, akárcsak az összes

Z \to Z

függvények halmaza. (Ezzel szemben az egész együtthatós polinomfüggvények halmaza csupán megszámlálhatóan végtelen számosságú.)

Frenkel Péter, (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn. III. o.t.)

Pap Gyula, (Debrecen, Fazekas M. Gimn. III. o.t.)