A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az polinomnak három különböző komplex gyöke van, , és (ezek közül pontosan egy valós); ez például a szokásos függvényvizsgálattal könnyen igazolható. Ismeretes, hogy ekkor alkalmas , , (komplex) konstansokkal (, 1, 2, ). Az , , értékét a sorozat első három tagja egyértelműen meghatározza. Esetünkben , hiszen a gyökök és együtthatók összefüggéseiből , , és persze . Tehát | | (1) | Felhasználva, hogy , , kielégíti az egyenletet (1)-ből kapjuk, hogy | | Tetszőleges prímre és egészre osztható -vel; ezért (2) szerint | | Így -re , azaz . adódik, amiből következik a feladat állítása.
II. megoldás. Legyen pozitív egész; írjunk bele egy körbe egy szabályos (konvex) -szöget (itt és a továbbiakban is megengedve az elfajuló ,,1- és 2-szög'' esetét is). Jelölje azoknak a konvex sokszögeknek a számát, amelyek csúcsai , , , közül valók, és bármely két szomszédos csúcsuk az eredeti sokszögben másod- vagy harmadszomszédos (egy vagy két eredeti csúcspont esik közéjük). Megmutatjuk, hogy (, 2, ). Nyilván , , ; elegendő tehát igazolni a rekurziót (). Tekintsünk egy tetszőleges, a kívánalmaknak eleget tevő sokszöget; , és valamelyike biztosan előfordul ennek csúcsaként, ezért e sokszög két legnagyobb sorszámú csúcsa a következő lehet:
(1) és ; | (4) és ; | (2) és ; | (5) és ; | (3) és ; | (4) és . |
Ha e két csúcsot egymással és a köztük fekvő eredeti csúcspontokkal egybeejtjük (,,összehúzzuk''), majd a csúcsok számozását folyamatosan változtatjuk, akkor az (1), (2) és (3) esetben az , míg a (4), (5), ill. (6) esetben az oldalú szabályos sokszögbe írt megfelelő sokszöghöz jutunk. Utóbbi sokszögek valamennyien elő is fordulnak ‐ mégpedig pontosan egyszer ‐ ezen a módon, így valóban , tehát . Legyen ezután prím. Ha egy megfelelően beírt sokszög, akkor ennek a kör középpontja körüli -vel való elforgatottjai (, 2, , ) is megfelelőek. Ezek páronként különbözők, hiszen ha lenne közöttük két megegyező, akkor -et valamilyen fokos forgatás önmagába vinné (). Ekkor azonban a fokos forgatások is önmagába viszik -et (, 2, , ), és e forgatások között ott van a fokos is; ez a forgatás viszont láthatóan nem viheti -et önmagába. Tehát a feltételeknek megfelelően beírt darab sokszög -s csoportokba osztható, azaz .
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|
|