Kezdőlap


Feladat:	N.94	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Prause István , Vörös Zoltán
Füzet:	1997/január, 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Konstruktív megoldási módszer, Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: N.94

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a $z = \frac{3 + \sqrt[]{17}}{2}$ szám megfelelő. Ez a szám a $t^{2} = 3 t + 2$ másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke.
Tekintsük a következő sorozatot:

\begin{matrix} a_{0} = 2, a_{1} = 3, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} + 2 a_{n} (n = 0, 1, ...) . \end{matrix}

Azt állítjuk, hogy

a_{n} = z^{n} + u^{n}

. Ez

n = 0,1

esetén behelyettesítéssel ellenőrizhető. Ha pedig igaz

n = k

-ra és

n = k + 1

-re, akkor igaz

n = k + 2

-re is, mert

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{k + 2} = 3 a_{k + 1} + 2 a_{k} = 3 (z^{k + 1} + u^{k + 1}) + 2 (z^{k} + u^{k}) = \\ = z^{k} (3 z + 2) + u^{k} (3 u + 2) = z^{k + 2} + u^{k + 2} . \end{matrix} \end{matrix}

A rekurzióból az is látszik, hogy

a_{n + 1}

és

a_{n + 2}

paritása megegyezik, következésképpen

a_{1}

a_{2}

...

mind páratlan. (

a_{0}

és

a_{1}

paritása azért nem egyezik meg, mert

a_{1}

-et nem a rekurzióból kaptuk.)
Mivel

- 1 < u < 0

, pozitív páros

n

esetén

z^{n} < a_{n} < z^{n} + 1

és így

[z^{n}] = a_{n} - 1

páros, míg páratlan

n

esetén

z^{n} - 1 < a_{n} < z^{n}

és

[z^{n}] = a_{n}

páratlan. A

[z^{n}] - n

szám mindkét esetben páros.

Megjegyzés. Néhányan csak a megfelelő

z

létezését bizonyították be a Cantor-axióma felhasználásával. Ők 2 pontot kaptak.