Kezdőlap


Feladat:	N.93	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Elek Péter , Frenkel Péter , Gyarmati Katalin , Makai Márton , Pap Gyula , Pap Júlia , Vörös Zoltán
Füzet:	1996/december, 543 - 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Rekurzív eljárások, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: N.93

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $α = \frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}$ és $β = \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2}$ . (Ezek az $x^{2} = x + 1$ egyenlet gyökei.) Ismeretes (és teljes indukcióval könnyen igazolható), hogy

\begin{matrix} L_{n} = α^{n} + β^{n} . \end{matrix}

(1)

Megmutatjuk, hogy páros

n

esetén

\begin{matrix} (L_{n} - 2) (L_{n} + 3) = (L_{n - 1} + 1) (L_{n + 1} - 1) . \end{matrix}

(2)

Behelyettesítve (1)-et és figyelembe véve, hogy

α β = - 1

, (2) így alakul:

\begin{matrix} \begin{matrix} (α^{n} + β^{n} - 2) (α^{n} + β^{n} + 3) & = (α^{n - 1} + β^{n - 1} + 1) (α^{n + 1} + β^{n + 1} - 1), \\ 2 {(α β)}^{n} + α^{n} + β^{n} - 6 & = {(α β)}^{n - 1} (α^{2} + β^{2}) + α^{n + 1} + β^{n + 1} - α^{n - 1} - β^{n - 1} - 1, \\ 2 + L_{n} & = - L_{2} + L_{n + 1} - L_{n - 1} - 1, \end{matrix} \end{matrix}

ami

L_{2} = 3

és a rekurzió miatt igaz.
Tegyük fel, hogy a

p

prímszám osztója

(L_{n} - 2)

-nek. A (2) azonosság szerint

p

L_{n - 1 + 1} + 1

és

L_{n + 1} - 1

számok közül legalább az egyiknek osztója. Viszont ha az egyiknek osztója, akkor osztója a másiknak is, mivel

\begin{matrix} (L_{n + 1} - 1) - (L_{n - 1} + 1) = L_{n} - 2. \end{matrix}

Megjegyzés. Makai Márton az

{(L_{2 m + 1} - 1)}^{2} = (L_{2 m + 1} + 2) (L_{2 m} - 2)

azonosság felhasználásával bizonyította a feladat állítását.

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.)