Kezdőlap


Feladat:	N.91	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1997/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: N.91

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $T_{k}$ a $k$ -adik Csebisev-polinom (az a $k$ -adfokú polinom, amelyre $cos k t = T_{k} (cos t)$ ; például $T_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ ), és legyen

\begin{matrix} p_{0} (x) = T_{0} (x) + T_{1} (x) + T_{2} (x) + ... + T_{2 n} (x) . \end{matrix}

Ekkor

p_{0} (1) = 2 n + 1

, és ha

x = cos t < 1

(0 < t \leq π)

, akkor

\begin{matrix} \begin{matrix} p_{0} (x) = \sum_{i = 0}^{2 n} cos i t = \sum_{i = 0}^{2 n} \frac{sin (i t + \frac{1}{2} t) - sin (i t - \frac{1}{2} t)}{2 sin \frac{t}{2}} = \frac{sin (2 n + \frac{1}{2}) t + sin \frac{1}{2} t}{2 sin \frac{t}{2}} = \\ = \frac{sin (2 n + \frac{1}{2}) t + sin \frac{1}{2} t}{2 \sqrt[]{\frac{1 - cos t}{2}}} = \frac{sin (2 n + \frac{1}{2}) t + sin \frac{1}{2} t}{\sqrt[]{2 (1 - x)}} . \end{matrix} \end{matrix}

Innen látszik, hogy

- 1 \leq x < 1

esetén

| p_{0} (x) | \leq \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{1 - x}}

.
Legyen

\begin{matrix} p (x) = p_{0}^{4} (1 - \frac{2 x}{n^{2}}) . \end{matrix}

Az előbbiek alapján

p (0) = {(2 n + 1)}^{4}

, és

\begin{matrix} \begin{matrix} | p (1) | + | p (2) | + ... + | p (n^{2}) | \leq \sum_{i = 1}^{n^{2}} {(\frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{\frac{2 x}{n^{2}}}})}^{4} = n^{4} \sum_{i = 1}^{n^{2}} \frac{1}{i^{2}} < \\ < n^{4} \sum_{i = 1}^{n^{2}} \frac{3}{i (i + 1)} = n^{4} \sum_{i = 1}^{n^{2}} (\frac{3}{i} - \frac{3}{i + 1}) < 3 n^{4} < p (0) . \end{matrix} \end{matrix}

A definíciókból leolvasható, hogy

p_{0}

foka

2 n

p

foka pedig

8 n

Megjegyzés. Be lehet bizonyítani, hogy az állítás bizonyos értelemben éles. Ha valamely

p

polinomra

\begin{matrix} | p (0) | > | p (1) | + | p (2) | + ... + | p (n^{2}) |, \end{matrix}

Akkor

p

foka legalább

c n

egy megfelelő pozitív

c

konstanssal.