Mivel az egyenlet bal oldala mindig páros, ezért $z$ is páros, tehát $z^3$ biztosan osztható 8-cal. Így $8\mid 1+2^x+3^y$ teljesül. $3^y$  8-cal osztva csak 1-et vagy 3-at adhat maradékul, így $2^x$-nek 8-cal osztva 6 vagy 4 maradékot kell adnia. De $2^x$ egy 2-hatvány, ezért a két lehetőség közül csak az utóbbi teljesülhet, és ekkor $x=2$. Tehát az egyenlet $5+3^y=z^3$ alakra hozható.
$z^3$ 9-cel osztva 0-t, 1-et vagy 8-at adhat maradékul, így $3^y$ nem lehet 9-cel osztható. Tehát csak $y=1$ lehet, ebből $z^3=5+3=8$, vagyis $z=2$.
Így az egyenlet egyetlen megoldása az $x=2$, $y=1$, $z=2$.