Kezdőlap


Feladat:	Gy.3086	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kiss Gergely , Pap Júlia , Reviczky Ádám , Savanya Judit , Taraza Busra
Füzet:	1997/május, 280 - 281. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: Gy.3086

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenlőség két oldalát kivonva egymásból az

\begin{matrix} \begin{matrix} (\frac{a_{1}}{a_{2} (a_{1} + a_{2})} - \frac{a_{2}}{a_{1} (a_{1} + a_{2})}) + (\frac{a_{2}}{a_{3} (a_{2} + a_{3})} - \frac{a_{3}}{a_{2} (a_{2} + a_{3})}) + ... \\ ... + (\frac{a_{n}}{a_{1} (a_{n} + a_{1})} - \frac{a_{1}}{a_{n} (a_{n} + a_{1})}) = 0 \end{matrix} \end{matrix}

egyenlőséget kapjuk. Tetszőleges

a

b

pozitív valós számokra

\begin{matrix} \frac{a}{b (a + b)} - \frac{b}{a (a + b)} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a b (a + b)} = \frac{a - b}{a b} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}, \end{matrix}

így a bal oldal

\begin{matrix} (\frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{1}}) + (\frac{1}{a_{3}} - \frac{1}{a_{2}}) + ... + (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}}), \end{matrix}

ami valóban 0-val egyenlő.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.)

II. megoldás. Teljes indukcióval bizonyítunk.

n = 1

esetén az állítás triviális.
Tegyük fel, hogy

n = k

esetén az állítás igaz, és legyen

\begin{matrix} m = \frac{a_{1}}{a_{2} (a_{1} + a_{a})} + \frac{a_{2}}{a_{3} (a_{2} + a_{3})} + ... + \frac{a_{k}}{a_{1} (a_{k} + a_{1})} = \frac{a_{2}}{a_{1} (a_{1} + a_{2})} + ... + \frac{a_{1}}{a_{k} (a_{k} + a_{1})} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2} (a_{1} + a_{2})} + \frac{a_{2}}{a_{3} (a_{2} + a_{3})} + ... + \frac{a_{k}}{a_{k + 1} (a_{k} + a_{k + 1})} + \frac{a_{k + 1}}{a_{1} (a_{k + 1} + a_{1})} = \\ = m - \frac{a_{k}}{a_{1} (a_{k} + a_{1})} + \frac{a_{k}}{a_{k + 1} (a_{k} + a_{k + 1})} + \frac{a_{k + 1}}{a_{1} (a_{1} + a_{k + 1})} \end{matrix} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a_{2}}{a_{1} (a_{2} + a_{1})} + \frac{a_{3}}{a_{2} (a_{3} + a_{2})} + ... + \frac{a_{k + 1}}{a_{k} (a_{k + 1} + a_{k})} + \frac{a_{1}}{a_{k + 1} (a_{1} + a_{k + 1})} = \\ = m - \frac{a_{1}}{a_{k} (a_{k} + a_{1})} + \frac{a_{k + 1}}{a_{k} (a_{k} + a_{k + 1})} + \frac{a_{1}}{a_{k + 1} (a_{1} + a_{k + 1})}, \end{matrix} \end{matrix}

így azt kell bizonyítani, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{k} (a_{k} + a_{1})} + \frac{a_{k}}{a_{k + 1} (a_{k} + a_{k + 1})} + \frac{a_{k + 1}}{a_{1} (a_{1} + a_{k + 1})} = \\ = \frac{a_{k}}{a_{1} (a_{k} + a_{1})} + \frac{a_{k + 1}}{a_{k} (a_{k} + a_{k + 1})} + \frac{a_{1}}{a_{k + 1} (a_{k + 1} + a_{1})} \end{matrix} \end{matrix}

teljesül minden pozitív valós

a_{1}

a_{k}

a_{k + 1}

számra. Közös nevezőre hozva valóban azonosságot kapunk, és ezzel az állítást

n = k + 1

-re is bebizonyítottuk.

Taraza Busra (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn., I. o.t.)