Kezdőlap


Feladat:	Gy.3085	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babos Attila , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Keszegh Balázs , Lukács László , Naszódi Gergely
Füzet:	1997/május, 279. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometria, Poliéderek súlypontja, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: Gy.3085

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $L$ lapjára állított konvex poliéder akkor nem billen fel, ha $S$ tömegközéppontjának az $L$ síkján lévő merőleges vetülete az $L$ konvex sokszög belső pontja.

Jelölje

K

azt a konvex sokszöglapját a poliédernek, amely a legközelebb van

S

-hez (ha több ilyen van, akkor ezek egyikét). Legyen

S_{1}

S

-nek

K

síkján lévő merőleges vetülete. Tegyük fel, hogy

S_{1}

nem belső pontja

K

-nak. Ekkor a testnek a konvexség miatt van egy olyan

M

lapja, amely az

S S_{1}

szakaszt annak egy belső

T

pontjában metszi. Jelölje

R

S

-nek

M

síkján lévő merőleges vetületét. Ekkor

S R \leq S T

, továbbá feltevésünk miatt

S T < S S_{1}

, azaz

S R < S S_{1}

, ami ellentmond annak, hogy

S_{1}

S

-hez legközelebbi lapon lévő merőleges vetülete

S

-nek.
Ezzel azt mutattuk meg, hogy ha az

S

tömegközéppontot a

K

síkra merőkegesen levetítjük, akkor a vetület a

K

konvex sokszöglap belsejébe esik, ez pedig az egyensúly feltétele, vagyis a súlypontjához legközelebb lévő lapjára állított poliéder nem billen fel.

Gyenes Zoltán (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., III. o.t.)

dolgozata alapján