Kezdőlap


Feladat:	Gy.3083	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán
Füzet:	1997/március, 158 - 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglalapok, Alakzatok köré írt kör, Hossz, kerület, Háromszögek hasonlósága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: Gy.3083

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit (az $O_{i}$ középpontú $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}$ téglalap köré írt köre $k_{i}$ ; az átlóknak a másik téglalap köré írt körén lévő érintési pontjai pedig $E_{i}$ és $F_{i}$ , $i = 1$ , 2). Mivel a téglalapok mindkét átlója érinti a másik téglalap köré írt kört, azért az $O_{1} O_{2}$ egyenesre szimmetrikus az ábra. Jelöljük $A_{i}'$ -vel $A_{i}$ -nek az $O_{1} O_{2}$ -n lévő merőleges vetületét. Megmutatjuk, hogy $A_{1} A_{1}' = A_{2} A_{2}'$ .
Az $O_{1} A_{1} A_{1}'$ és az $O_{1} O_{2} E_{1}$ háromszögek hasonlóak, mert $O_{1}$ -nél lévő szögük közös, továbbá $O_{1} A_{1}' A_{1} ∢ = O_{1} E_{1} O_{2} ∢ = 90^{\circ}$ . Ezért megfelelő oldalaik aránya is egyenlő, azaz

\begin{matrix} \frac{A_{1} A_{1}'}{O_{1} A_{1}} = \frac{O_{2} E_{1}}{O_{1} O_{2}}, amiből A_{1} A_{1}' = \frac{O_{1} A_{1} \cdot O_{2} E_{1}}{O_{1} O_{2}} . \end{matrix}

O_{2} A_{2} A_{2}'

és az

O_{2} O_{1} E_{2}

háromszögek is hasonlóak, amiből kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{2} A_{2}' = \frac{O_{2} A_{2} \cdot O_{1} E_{2}}{O_{1} O_{2}} . \end{matrix}

Viszont

O_{2} E_{1} = O_{2} A_{2}

és

O_{1} A_{1} = O_{1} E_{2}

, mert

E_{1}

és

A_{2}

k_{2}

-n,

A_{1}

és

E_{2}

pedig a

k_{1}

-en van. Tehát

A_{1} A_{1}' = A_{2} A_{2}'

. Viszont az

O_{1} O_{2}

-re vonatkozó szimmetria miatt

2 \cdot A_{1} A_{1}' = A_{1} B_{1}

és

2 A_{2} A_{2}' = A_{2} B_{2}

. Ezzel beláttuk, hogy a két téglalap egy-egy oldalának hossza megegyezik.

Gyenes Zoltán (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján