|
Feladat: |
Gy.3082 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Benedek Csaba , Hesz Gábor , Papp Dávid , Savanya Márta |
Füzet: |
1997/március,
156 - 158. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Magasságvonal, Hossz, kerület, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Terület, felszín, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/október: Gy.3082 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait és csúcsait a szokásos módon , , ; , , -vel úgy, hogy teljesüljön. A csúcsból induló magasság, szögfelező és súlyvonal legyen , és , ezek talppontjai pedig , és (lásd az ábrát). Nyilvánvaló, hogy . A szögfelezőtétel szerint | | Ugyanakkor a egyenlőtlensegből következik, hogy , vagyis , tehát . Ezek alapján -nek és között kell elhelyezkednie. Mivel , ezért az ‐ esetleg elfajuló ‐ háromszögben a legnagyobb oldal, azaz . Viszont Thalész tétele miatt , tehát Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha , azaz ha a háromszög egyenlő szárú (és természetesen derékszögű).
Hesz Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II.o.t.) és |
Savanya Márta (Bonyhád, Petőfi S. Ev. Gimn., II.o.t.) dolgozatai alapján |
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Az háromszög területét kétféleképpen felírva kapjuk, hogy , amiből Az háromszög területét felírhatjuk úgy is, mint az és a háromszögek területeinek összegét: | | amiből . Az és pozitív számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes közepei közti ismert egyenlőtlenségek szerint Ezeket az egyenlőtlenségeket és a Pitagorasz tételéből következő összefüggést (1)-be és (2)-be beírva kapjuk, hogy | | és | | (3) és (4) megfelelő oldalait összeadva: ami éppen a bizonyítandó állítás. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha .
|
|