Kezdőlap


Feladat:	Gy.3079	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Izsák Rudolf , Szalontay Mihály
Füzet:	1997/február, 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Számsorok, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/október: Gy.3079

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Az $\frac{1}{a (a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$ azonosság alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{1995 - 1996} & = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{1995} - \frac{1}{1996}) = \\ = 1 - \frac{1}{1996}, \end{matrix} \end{matrix}

így az összeghez hozzávéve az

\frac{1}{1996}

-ot, 1-et kapunk, és ezzel előállítottuk az 1-et 1996 különböző pozitív egész reciprokainak összegeként.
b) Mivel

a_{1}

a_{2}

...

a_{1996}

különböző pozitív egészek, azért

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{1996}} \leq \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{1996} < \frac{1}{1} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}) + ... \\ ... + (\frac{1}{512} + \frac{1}{513} + ... + \frac{1}{1023}) + (\frac{1}{1024} + \frac{1}{1025} + ... + \frac{1}{2047}) < \\ < \frac{1}{1} + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + ... \\ ... + {\underset{︸}{(\frac{1}{512} + \frac{1}{512} + ... + \frac{1}{512})}}_{512-szer}^{} + {\underset{︸}{(\frac{1}{1024} + \frac{1}{1024} + ... + \frac{1}{1024})}}_{1024-szer}^{} = 11. \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a 11-et nem lehet előállítani 1996 különböző pozitív egész reciprokainak összegeként.

Izsák Rudolf (Szombathely, Premontrei Rendi Szt. Norbert Gimn., II. o.t.)

dolgozata alapján