Kezdőlap


Feladat:	Gy.3074	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán
Füzet:	1997/március, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Beírt kör, Diszkusszió, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/szeptember: Gy.3074

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. A két kör közös pontjának nyilván rajta kell lennie az $A D$ szakaszon. Jelöljük ezt a pontot $E$ -vel (1. ábra).
Ismert, hogy egy háromszög egyik csúcsából a beírt körhöz húzott érintő hossza megegyezik a háromszög félkerületének és a csúccsal szemközti oldal hosszának különbségével. (A 2. ábra jelöléseit használva $a = x + y$ , $b = y + z$ és $c = z + x$ ; ezekből pedig azt kapjuk, hogy $x = \frac{1}{2} (a + b + c) - b$ , $y = \frac{1}{2} (a + b + c) - c$ és $x = \frac{1}{2} (a + b + c) - a$ .) Ezért ha $s_{B}$ , illetve $s_{C}$ jelöli az $A B D$ , illetve az $A C D$ háromszög félkerületét, akkor $D E = s_{B} - A B$ és $D E = s_{C} - A C$ , azaz $s_{B} - s_{C} = A B - A C$ .
Viszont

\begin{matrix} s_{B} - s_{C} = \frac{1}{2} (A B + B D + D A) - \frac{1}{2} (A C + C D + D A) = \frac{1}{2} (A B - A C) + \frac{1}{2} (B D - C D), \end{matrix}

ezért

B D - C D = A B - A C

. Másrészt

B D + C D = B C

, tehát végül azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} B D = \frac{1}{2} (A B + B C - A C) és C D = \frac{1}{2} (A C + B C - A B) . \end{matrix}

Ez viszont azt jelenti, hogy

D

A B C

háromszögbe írt kör

B C

-n lévő érintési pontja. Ezek alapján a szerkesztés nyilvánvaló, a feladatnak mindig pontosan egy megoldása van.

Gyenes Zoltán (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., I. o.t.)