Feladat: Gy.3072 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Stoll Péter 
Füzet: 1997/február, 83 - 84. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/szeptember: Gy.3072

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szokásos módon jelöljük x, illetve y törtrészét {x}, {y}-nal. Ekkor az egyenletünk:

[x]⋅[y]=[x]+[y]+{x}+{y}.
A bal oldal egész, tehát a jobb oldal is az. Definíció szerint 0≤{x}, {y}≤1, így {x}+{y}=0 vagy {x}+{y}=1.
Az {x}+{y}=0 esetben [x]⋅[y]=[x]+[y], ebből
([x]-1)([y]-1)=1,
tehát [x]-1=1 és [y]-1=1, vagy [x]-1=-1 és [y]-1=-1. Feltételünk szerint {x}+{y}=0, így x és y egész, tehát x=2 és y=2 vagy x=0 és y=0. A feladat feltételei szerint x és y pozitívak, így csak az x=y=2 megoldás felel meg.
Az {x}+{y}=1 esetben [x]⋅[y]=[x]+[y]+1, ebből
([x]-1)([y]-1)=2,
tehát [x]-1=1 és [y]-1=2, vagy [x]-1=2 és [y]-1=1, vagy [x]-1=-1 és [y]-1=-2, vagy [x]-1=-2 és [y]-1=-1. A harmadik és negyedik esetből [y]=-1, illetve [x]=-1 következne, így x vagy y nem lenne pozitív.
Az első két esetben [x]=2 és [y]=3, illetve [x]=3 és [y]=2, így mindig [x]+[y]=5. Tudjuk továbbá, hogy {x}+{y}=1, ezért x+y=6.
Könnyen látható, hogy ha 2≤x<4, x≠3 és y=6-x, akkor (x,y) megoldás, és más megoldás nincs.
Tehát x=y=2 és 2≤x<4, x≠3, y=6-x megadja az egyenlet összes pozitív megoldását.
 Stoll Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Az xy=ax+by+c típusú egyenletek (a, b, c egészek) egész megoldásait hasonló módon megkaphatjuk az (x-b)(y-a)=ab+c egyenletből, ab+c szorzat-felbontásaiból.