A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük az , , közös kezdőpontját -val, a szerkesztendő háromszög csúcsait , , -vel, az adott pontokat pedig , , -rel (1. ábra). Tegyük fel, hogy az , , félegyenesek nincsenenk egy síkban. Jelöljük az általunk páronként meghatározott síkokat , és -vel, síkját pedig -sel. Mivel és , azért az -en, illetve -n átmenő, -vel párhuzamos egyenesek az , illetve a pontban metszik -t, illetve -et (2. ábra). Mivel , azért az , , , pontok egy síkban vannak. Ha , és közül egyik sem esik egybe csúcsaival, akkor különbözik -től is és -től is, tehát , és a páronkénti metszésvonalai az , és síkoknak. Ha e három egyenes közül valamelyik kettő egy pontban metszi egymást, akkor az , és síkok mindegyikén rajta van, azaz a három sík közös pontja, tehát a harmadik síkpár metszésvonala is átmegy rajta. Ezzel beláttuk, hogy , és vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak. Ez az állítás akkor is igaz, ha az , , félegyenesek egy síkban vannak. Ennek bizonyítását az olvasóra hagyjuk. (Egy lehetséges bizonyítási mód: az , , félegyenesekhez konstruáljunk olyan , , félegyeneseket, amelyek nincsenek egy síkban, és egy megfelelő irányból egy síkra vetítve őket, a vetületük éppen , és .) A szerkesztést tehát a következő módon végezhetjük: -en és -n át párhuzamosokat szerkesztünk -vel, ezek -ben, illetve -ban metszik -t és -et. és metszéspontját összekötjük -vel (ha , akkor -n át ezekkel párhuzamost húzunk), ez -ban és -ben metszi -t, illetve -et. Végül és metszéspontja adja a ‐ -n lévő ‐ csúcsot. Az így szerkesztett háromszög csúcsa mindig -n lesz, mert , és az , és egyenesek pedig vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak. A megoldások száma az adott pontok és félegyenesek kölcsönös helyzetétől függően legfeljebb 6 (szerkesztésünk csak azt biztosítja, hogy a háromszög csúcsai a félegyeneseket tartalmazó egyeneseken vannak, illetve hogy a háromszög oldalegyenesei átmennek az adott pontokon).
Szabados Péter (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
|