Kezdőlap


Feladat:	Gy.3067	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1997/január, 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Háromszögek nevezetes tételei, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: Gy.3067

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy tetszőleges $O$ pontból indítsunk helyvektorokat a szereplő pontokhoz, és jelöljük ezeket a megfelelő kisbetűkkel. Egy $X Y Z V$ négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha $x - y = v - z$ , mert ez az egyenlőség azt fejezi ki, hogy az $X Y$ és a $V Z$ oldalak párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Mivel az $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ , $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ és $C_{1} C_{2} C_{3} C_{4}$ négyszögek paralelogrammák, ezért

\begin{matrix} a_{1} - a_{2} = a_{4} - a_{3}, b_{1} - b_{2} = b_{4} - b_{3}, c_{1} - c_{2} = c_{4} - c_{3} . \end{matrix}

E három egyenletet összeadva, majd 3-mal elosztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3} - \frac{a_{2} + b_{2} + c_{3}}{3} = \frac{a_{4} + b_{4} + c_{4}}{3} - \frac{a_{3} + b_{3} + c_{3}}{3} . \end{matrix}

viszont

S_{i}

A_{i} B_{i} C_{i}

háromszög súlypontja, ezért

s_{i} = \frac{a_{i} + b_{i} + c_{i}}{3}

. Tehát

s_{1} - s_{2} = s_{4} - s_{3}

, amiből következik, hogy az

S_{1} S_{2} S_{3} S_{4}

négyszög is paralelogramma.

Megjegyzés. Ugyanígy látható, hogy

n

darab paralelogramma megfelelő csúcsai által alkotott 4 darab

n

-szög súlypontjai is paralelogrammát alkotnak.