Kezdőlap


Feladat:	Gy.3064	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna , Gyenes Zoltán , Szabados Péter
Füzet:	1997/február, 80 - 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/május: Gy.3064

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget az 1, $x^{2} y^{4}$ és $x^{4} y^{2}$ számokra:

\begin{matrix} \frac{1 + x^{2} y^{4} + x^{4} y^{2}}{3} \geq \sqrt[3]{1 \cdot x^{2} y^{4} x^{4} y^{2}} = x^{2} y^{2}, \end{matrix}

ami átrendezve éppen azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 4 + x^{2} y^{4} + x^{4} y^{2} - 3 x^{2} y^{2} \geq 3. \end{matrix}

Azt kell még belátni, hogy teljesülhet-e egyenlőség, és ha igen, milyen

x

és

y

esetén. A felhasznált egyenlőtlenségben akkor áll egyenlőség, ha

1 = x^{2} y^{4} = x^{4} y^{2}

. Ebből

x \neq 0

y \neq 0

, majd

x^{2} = y^{2}

, és emiatt

x^{2} = y^{2} = 1

következik, azaz

x = \pm 1

y = \pm 1

. Ekkor viszont azonnal látszik, hogy valóban teljesül is az egyenlőség. Ezzel igazoltuk, hogy a kifejezés legkisebb lehetséges értéke 3, amit az

x = \pm 1

y = \pm 1

esetekben vesz föl.

Szabados Péter (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Egy másik, sok beküldőnél látott gondolatmenet a következő. Keressük inkább az

x^{2} y^{4} + x^{4} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}

minimumát. Mivel pl.

x = y = 1

-re a kifejezés negatív, azért a minimum is az, így elég a

\begin{matrix} 3 x^{2} y^{2} - x^{4} y^{2} - x^{4} y^{2} = x^{2} y^{2} (3 - x^{2} - y^{2}) \end{matrix}

maximumát keresni, méghozzá csak az olyan

(x, y)

párok között, amelyekre

3 - x^{2} - y^{2} > 0

. Ha itt alkalmazzuk az

x^{2}

y^{2}

3 - x^{2} - y^{2}

hármasra a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget, ugyancsak célhoz érünk.