Feladat: Gy.3063 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Katona Zsolt ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Méder Áron ,  Nyul Gábor ,  Pálfalvi Tamás ,  Szécsi Vajk ,  Terpai Tamás ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1997/február, 79 - 80. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Prímszámok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/május: Gy.3063

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet xy-nal megszorozva, majd átrendezve

py+qx=xy,pq=pq+xy-py-qx=(x-p)(y-q)
adódik. Mivel p és q prímszámok, azért pq osztói csak a ±1, ±p, ±q, ±pq lehetnek. A lehetséges eseteket a következő táblázatban foglalhatjuk össze:
 
      x-p    y-q    x    y     1.    p    q    2p    2q     2.    q    p    p+q    p+q     3.    pq    1    pq+p    q+1     4.    1    pq    p+1    pq+q     5.    -p    -q    0    0     6.    -q    -p    p-q    q-p     7.    -pq    -1    p-pq    q-1     8.    -1    -pq    p-1    q-pq  
 

Az 5. számpárnál x=y=0, amit az eredeti egyenlet értelmezési tartománya kizár. A 6. számpárnál x vagy y közül legalább az egyik nem pozitív, mi viszont pozitív megoldást keresünk. A 7. számpárból x=p-pq=p(1-q)<0, hiszen q prím, és így legalább 2, míg p szintén pozitív; ugyanígy kizárható a 8. eset is, hiszen ott q-pq<0.
Még azt kell ellenőrizni, hogy az első 4 eset ‐ ahol a pozitivitás nyilvánvalóan teljesül ‐ hány különböző számpárt ad. Jelölje xi és yi az i-edik esethez tartozó megoldást. Ha (xi,yi)=(x2,y2), akkor 2p=p+q=2q, azaz p=q. Ha (xi,yi)=(x3,y3), akkor q+p=2p, azaz p(q-1)=0, ami ellentmond annak, hogy p és q prímek. Ha (xi,yi)=(x4,y4), akkor 2p=p+1, ez csak p=1 esetén lehetséges, ami viszont nem prím.
Ha (x2,y2)=(x3,y3), akkor p+q=pq+p, azaz q(1-p)=0, ez szintén nem fordulhat elő; ha (x2,y2)=(x4,y4), akkor p+q=p+1, azaz q=1, ami nem prím; és végül, ha (x3,y3)=(x4,y4), akkor pq+p=p+1, azaz pq=1, ami szintén lehetetlen, hiszen p és q prím.
Összefoglalva: ha p≠q, akkor mindegyik számpár különböző, és így 4 megoldás van; ha pedig p=q, akkor az első kettő megegyezik, azaz 3 megoldás van.
 Nyul Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján