Feladat: Gy.3057 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Cheri Enikő ,  Frenkel Péter ,  Gyenes Zoltán ,  Jeszencsku Gyula ,  Kutalik Zoltán ,  Mátrai Tamás ,  Naszódi Gergely ,  Nyul Gábor ,  Páles Csaba ,  Pintér Gábor József ,  Reviczky Ágnes ,  Sipos András ,  Szabó Jácint ,  Szépszó Gabriella ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várkonyi Péter ,  Zábrádi Gergely ,  Zakariás Ildikó 
Füzet: 1997/február, 78 - 79. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/április: Gy.3057

Legyen n pozitív egész, a, b>0 valós számok. Bizonyítsuk be, hogy
1a+b+1a+2b+1a+3b+...+1a+nb<na(a+nb)(H)(5)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást teljes indukcióval igazoljuk. Az n=1 esetben az igazolandó egyenlőtlenség az

1a+b<1a(a+b)
alakot ölti, ami átrendezve ekvivalens a<a+b-vel, ami nyilván igaz.
Tegyük föl, hogy az állítást már igazoltuk 1, 2, ..., n-1 és tetszőleges a, b>0 esetén, és vizsgáljuk az érvényességét n-re. Legyen először n páros, azaz n=2k. Ekkor
(1a+b+...+1a+kb)+(1a+(k+1)b+...+1a+2kb)<ka(a+kb)+k(a+kb)(a+2kb),
ahol az indukciós feltevést alkalmaztuk, az n helyébe k-t, a és b helyébe először a-t és b-t, majd a+kb-t és b-t helyettesítve. Elég tehát azt igazolni, hogy
ka(a+kb)+k(a+kb)(a+2kb)<2ka(a+2kb),
átrendezve:
a+2kb+a<2a+kb.
Mivel mindkét oldal pozitív, így elég, ha négyzeteikről igazoljuk a megfelelő relációt:
a+2kb+a+2a(a+2kb)<4a+4kb,a(a+2kb)<a+kb,
ami viszont az aa+2kb számokra a számtani‐mértani közép közti egyenlőtlenség.
Legyen most n=2k+1 alakú. Ekkor az előző esethez hasonlóan
(1a+b+...+1a+(k+1)b)+(1a+(k+2)b+...+1a+(2k+1)b)<<k+1a(a+(k+1)b)+k(a+(k+1)b)(a+(2k+1)b),
elég tehát azt igazolni, hogy (közben be is szorozva a közös nevezővel)
(k+1)a+(2k+1)b+ka<(2k+1)a+(k+1)b,(k+1)2(a+(2k+1)b)+k2a+2k(k+1)a(a+(2k+1)b)<(2k+1)2(1+(k+1)b),2k(k+1)a(a+(2k+1)b)<<a((2k+1)2-k2-(k+1)2)+b((k+1)(2k+1)2-(k+1)2(2k+1)),2k(k+1)a(a+(2k+1)b)<k(k+1)(2a+(2k+1)b),a(a+(2k+1)b)<a+a+(2k+1)b2,
ami ismét a számtani‐mértani közép közti egyenlőtlenség. Ezzel az állítás bizonyítását befejeztük.
 Gyenes Zoltán (Budapest, Apáczai Csere J. Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján