Feladat: Gy.3051 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bárány Kristóf ,  Bárány Zsófi ,  Bérczi Gergely ,  Bosznay Tamás ,  Csikvári András ,  Csikvári Gábor ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Devecsery András ,  Gyenes Zoltán ,  Gönci Balázs ,  Hesz Gábor ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Keszegh Balázs ,  Kormos Márton ,  Lippner Gábor ,  Liska János ,  Méder Áron ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Naszódi Gergely ,  Páles Csaba ,  Patakfalvi Zsolt ,  Reviczky Ágnes ,  Sipos András ,  Szabó Péter ,  Szalai-Dobos András ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Tóth László ,  Várady Gergő ,  Velcsov Gabriella ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1996/december, 524 - 525. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sík geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/március: Gy.3051

Egy zárt töröttvonal minden szakaszát pontosan egyszer metszi, és semelyik három szakaszának nincs közös pontja. Állhat-e a töröttvonal  a) 1996,  b) 1997  
szakaszból?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat feltételeiből következik, hogy a töröttvonalat alkotó szakaszok párokba állíatók, ugyanis minden szakaszhoz egyértelműen tartozik egy őt metsző másik szakasz. Tehát a feltételeknek eleget tevő töröttvonal páros számú szakaszból áll.
Megmutatjuk, hogy minden n6 páros számhoz létezik n szakaszból álló ,,jó'' töröttvonal. Az n=6-ra az 1. ábrán látható a megoldás, n=8-ra pedig a 2. ábrán. A 2. ábrát úgy kaptuk, hogy az 1. ábrába ,,beszúrtunk'' egy szakaszpárt. Ezt az eljárást nyilván több szakaszpárral is megismételhetjük (3. ábra). Így 995 párt beszúrva éppen 1996 szakaszból álló töröttvonalat kapunk.
Tehát az (a) kérdésre a válasz igen, a (b) kérdésre pedig nem.