|
Feladat: |
Gy.3048 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bárány Kristóf , Barát Anna , Bérczi Gergely , Borsodi Rita , Braun Gábor , Bujdosó Attila , Czirok Levente , Davidovics Gábor , Devecsery András , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Kormos Márton , Kutalik Péter , Kutalik Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Mile Veronika , Nagy Endre , Naszódi Anna , Naszódi Gergely , Naszvadi Péter , Nyul Gábor , Páles Csaba , Pap Júlia , Papp Ágnes , Pintér Dömötör , Reviczky Ágnes , Rudolf Gábor , Salamon Éva , Sipos András , Szabó Jácint , Szabó Péter , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Tótin Ágnes , Vaik Zsuzsanna , Várkonyi Péter , Übelhart István , Zábrádi Gergely , Zakariás Ildikó , Zubcsek Péter Pál |
Füzet: |
1996/december,
521 - 522. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinációk, Kombinatorikai leszámolási problémák, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/március: Gy.3048 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Állítsuk először az embereket kettes oszlopba. Az első sor bal oldali helyére ember közül választhatunk, a jobb oldali helyre közül, a második sor bal oldalára közül és így tovább. Ez összesen lehetőség. Ezzel azonban minden párosítást többször is számoltunk: a pároknál ugyanis nem számít, ki áll a bal és ki a jobb oldalon, másfelől az sem érdekes, hogy az adott pár hányadik sorban áll. Egy adott párosításból a sorok megkülönböztetésével felállást kapunk, ám még ekkor sem vettük figyelembe a jobb és bal oldali helyeket. Ez minden párnál további lehetőség, azaz összesen . Tehát egy párosításból -féle kettes oszlopba állítást kapunk, azaz a párosítások száma b) Határozzuk meg először azt, hányféleképpen osztható ember fős csoportokba. Az előző feladatrésznél már látott módszert követjük: a -as oszlopba állítások számát elosztjuk annyival, ahányféle -as oszlopba állítás kapható egy -as csoportba osztásból. Mivel a csopoton belüli hely nem számít, ez lehetőség csoportonként, azaz összesen . Ezen felül még a csoportok sorrendje is mindegy, ami további lehetőséget jelent, vagyis összesítve . A -as oszlopba állítások száma pedig a) részhez hasonló módon ; így a csoportba osztásoké Ez tehát egész szám, valamint egész a és felcserélésével kapott , s így szorzatuk is: | | és éppen ezt kellett igazolnunk.
Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Az a) feladatrésznél természetes feltevés, hogy pozitív egészt jelöl, s ezt alkalmaztuk aztán a b) részre is. Amennyiben ott a nullát is megengednénk, az állítás nem marad igaz: ha és , akkor megállapodás szerint , , , és így az oszthatóság nem teljesül. Mivel valóban nem volt külön kikötve, jelenthet-e és nullát is, így aki ezzel a feltevéssel oldotta meg a feladatot, szintén maximális pontot kapott (amennyiben persze helyes és hiánytalan volt a megoldása.) Nézzük azért meg, hol romlik el az esetben a megoldásuk! Az (1) kifejezés értéke mellett , az és szerepét felcserélve pedig , holott nulla embert nullaféleképpen lehet csoportokba osztani. A másik kifejezés pedig láthatóan még csak nem is egész szám, s ez okozza a problémát. |
|