Kezdőlap


Feladat:	Gy.3047	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely
Füzet:	1996/december, 520 - 521. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Teljes indukció módszere, Oszthatósági feladatok, Fermat tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: Gy.3047

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A következő, az eredetinél általánosabb alakú egyenletet fogjuk az egész számok halmazán megoldani:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 8^{n}, \end{matrix}

ahol

n

tetszőleges nemnegatív egész lehet.
Az

n

szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy a megoldást a

(2^{n}, 0)

, illetve

(0, 2^{n})

számpárok jelentik. Tekintsük ezt először

n = 0

-ra:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 1. \end{matrix}

Mivel két pozitív köbszámnak sem az összege, sem a különbsége nem lehet 1, és ugyanez két negatív köbszámra is igaz, ezért

x

és

y

egyike nulla, a másik pedig

1 = 2^{0}

.
Nézzük most az indukciós lépést: tegyük föl, hogy az

x^{3} + y^{3} = 8^{n}

egyenletnek csak a fenti két megoldása van, és vizsgáljuk az

x^{3} + y^{3} = 8^{n + 1}

egyenletet. Nyilvánvaló, hogy

x

és

y

azonos paritásúak, lévén köbeik összege páros. Ha mindkettő páros, akkor

x = 2 x'

y = 2 y'

, és ezzel

8^{n + 1} = 8 {x'}^{3} + 8 {y'}^{3}

, azaz

8^{n} = {x'}^{3} + {y'}^{3}

; az indukció alapján

(x', y') = (0, 2^{n})

vagy

(2^{n}, 0)

és így

(x, y) = (0, 2^{n + 1})

vagy

(2^{n + 1}, 0)

.
Megmutatjuk, hogy a másik eset nem lehetséges, azaz nem lehet mindkettő páratlan. Indirekt bizonyítást alkalmazunk: tegyük föl, hogy

x

és

y

mégiscsak páratlan. Ekkor

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = 8^{n + 1} = 2^{3 n + 3} . \end{matrix}

Itt

x^{2} - x y + y^{2}

páratlan, és osztója

2^{3 n + 3}

-nak, így csak

\pm 1

lehet.
Tekintsük először az

x + y = 8^{n + 1}

x^{2} - x y + y^{2} = 1

egyenletrendszert. Mivel

x

és

y

páratlanok, azért nem lehetnek egyenlőek. Feltehetjük tehát, hogy

x > y

. Ekkor szükségképpen

x > 0

is teljesül. Mindezekből

x^{2} > x y

, majd

x^{2} - x y + y^{2} > y^{2} \geq 1

következik, ami ellentmondás.
Már csak az

x + y = - 8^{n + 1}

x^{2} - x y + y^{2} = - 1

egyenletrendszer vizsgálata van hátra. Viszont

x^{2} - x y + y^{2} = {(x - \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3}{4} y^{2} \geq 0

, tehát ez a rendszer sem oldható meg.
Ezzel állításunkat beláttuk; az

n = 30

speciális esetben a megoldások tehát

(2^{30}, 0)

és

(0, 2^{30})

Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Általános feladatunk is a Fermat-tételében szereplő egyenlet egy speciális alakja:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = {(2^{n})}^{3} . \end{matrix}

Maga a Fermat-tétel (illetve az annak már Euler korában is bizonyított harmadik hatványokra vonatkozó speciális esete) szerint ennek nincs a pozitív egész számok körében megoldása. Ekkor persze az

x

y < 0

eset sem lehetséges, valamint az

x < 0 < y

sem: az egyenletet átírva

\begin{matrix} y^{3} = {(2^{n})}^{3} + {(- x)}^{3} \end{matrix}

adódik, ahol viszont már minden szám pozitív, és így ennek sincs megoldása. Tehát

x

és

y

egyike nulla, és ez a már látott két megoldáshoz vezet.