Kezdőlap


Feladat:	Gy.3046	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Poronyi Gábor
Füzet:	1997/január, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/március: Gy.3046

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a következő szétosztás megfelel a feltételeknek:

\begin{matrix} 1, 3, 5, ..., 199. \end{matrix}

a kavicsok száma valóban

10 000

, ugyanis

\begin{matrix} 1 + 3 + ... + 199 = \frac{(1 + 199)}{2} \cdot 100 = 10 000; \end{matrix}

és az is látható, hogy nincs két, ugyanannyi kavicsból álló halmaz.
Ha bármelyik halmazt továbbosztjuk, akkor a keletkező két halom egyike szintén páratlan számú kavicsot tartalmaz, mégpedig kevesebbet, mint az eredeti. Az egyet leszámítva viszont minden

2 k + 1

páratlan számra teljesül, hogy ha van

2 k + 1

kavicsból álló halom, akkor van

2 k - 1

2 k - 3

...

3

1

kavicsból álló is; és mivel az egy kavicsból álló halmazt nem oszthatjuk tovább, ez azt jelenti, hogy a szétosztás után mindenképpen lesz két, ugyanannyi kavicsot tartalmazó halom. A szétosztás tehát valóban kielégíti a követelményeket.

Poronyi Gábor (Pécs, Janus Pannonius Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján