Kezdőlap


Feladat:	Gy.3041	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jakabfy Tamás , Lengyel Tímea , Szabó Jácint , Vörös Imre
Füzet:	1997/január, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: Gy.3041

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a bal oldal egy általános tagját:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \sqrt[]{2} x - x^{2} + k^{2} - 2} = \sqrt[]{k^{2} - {(x - \sqrt[]{2})}^{2}} \leq \sqrt[]{k^{2}} = k . \end{matrix}

Látható, hogy egyenlőség csak

x = \sqrt[]{2}

esetén teljesül.
Összegezzük ezt a becslést az összes tagra, és osszuk el 998-cal.

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1}{998} (\sqrt[]{2 \sqrt[]{2} x - x^{2} - 1} + ... + \sqrt[]{2 \sqrt[]{2} x - x^{2} + k^{2} - 2} + ... + \sqrt[]{2 \sqrt[]{2} x - x^{2} + 1995^{2} - 1}) \leq \\ \leq \frac{1}{998} (1 + 2 + ... + 1995) = \frac{1}{998} \cdot \frac{1995 + 1}{2} \cdot 1995 = 1995. \end{matrix} \end{matrix}

Azt kaptuk tehát, hogy a megoldandó egyenlet bal oldala legfeljebb akkora lehet, mint a jobb oldal, és egyenlőség csak az

x = \sqrt[]{2}

esetben áll fenn. Ezek szerint az egyenletet csak az

x = \sqrt[]{2}

elégíti ki.

Vörös Imre (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o.t.)