Kezdőlap


Feladat:	Gy.3040	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Borkó Rezső , Molnár-Sáska Balázs , Páles Csaba , Szilágyi Judit
Füzet:	1996/november, 480. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/február: Gy.3040

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ${(a - b)}^{2} \geq 0$ egyenlőtlenségből következik, hogy $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq a b$ . Szorozzuk meg ezt $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ -vel (ez nemnegatív, így a reláció nem fordul meg):

\begin{matrix} {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{2} \geq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \cdot a b = \frac{a^{3} b + b^{3} a}{2} . \end{matrix}

(1)

Elegendő tehát azt igazolnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}}{3} \geq {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{2} = \frac{a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}}{4} . \end{matrix}

Átalakítva

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{4 a^{4} + 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} - 3 a^{4} - 6 a^{2} b^{2} - 3 b^{4}}{12} & \geq 0, \\ \frac{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2}}{12} = \frac{{(a^{2} - b^{2})}^{2}}{12} & \geq 0. & (2) \end{matrix} \end{matrix}

Mivel ez az egyenlőtlenség minden

a

b

esetén fennáll, ezért a bizonyítandó állítás is igaz. Vizsgáljuk még meg az egyenlőség feltételeit. Ehhez az kell, hogy (1)-ben és (2)-ben is egyenlőség álljon, azaz

a = b

vagy

a^{2} + b^{2} = 0

, valamint

a^{2} = b^{2}

teljesüljön. Ez csak akkor lehetséges, ha

a = b

, viszont akkor az egyenlőség valóban fenn is áll.

Szilágyi Judit (Balatonfüred, Lóczy L. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján