Jelöljük $k$ középpontját $K$-val, a $P$-ből $k$-hoz húzott érintők érintési pontjait $E_1$-gyel és $E_2$-vel, $PK$ és $E_1{E}_2$ metszéspontját pedig $R$-rel. Legyen $g$ egy tetszőleges, $k$-ra illeszkedő gömb, jelöljük $g$ középpontját $O_g$-vel, a $P$-ből $g$-hez húzott érintők érintési pontjai által meghatározott kört $k_g$-vel, $k_g$ középpontját pedig $K_g$-vel.
Mivel $g$ tartalmazza $k$-t, ezért az $O_{g}K$ egyenes merőleges $k$ síkjára. Így az $O_{g}KP$ sík is merőleges $k$ síkjára. Az $O_{g}KP$ sík szimmetriasíkja $k_g$-nek, ezért tartalmazza $K_g$-t. A $P{K}_g$ egyenes nyilván merőleges $k_g$ síkjára, ezért merőleges az abban levő $R{K}_g$ egyenesre is. Tehát az $R{K}_{g}P$ háromszög derékszögű. Így $K_g$ rajta van a $k$ síkjára merőleges síkban lévő $RP$ átmérőjű körön. Megmutatjuk, hogy ennek a körnek minden $P$-től különböző $Q$ pontja előáll egy megfelelő kör középpontjaként. A $k$ síkjára $K$-ban állított merőleges egyenes és $PQ$ metszéspontja ‐ ami mindig létezik, mert a két egyenes egy síkban van és nem párhuzamos ‐ legyen $O_Q$. Az előző gondolatmenet megfordításával belátható, hogy az $O_Q$ középpontú $k$-t tartalmazó gömbhöz $P$-ből húzott érintők érintési pontjai által alkotott kör középpontja éppen $Q$.
Tehát a keresett mértani hely a $k$ síkjára merőleges síkban lévő $PR$ átmérőjű kör, kivéve a $P$ pontot.