Kezdőlap


Feladat:	Gy.3031	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Katona Zsolt
Füzet:	1996/október, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: Gy.3031

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk föl a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget az
$a_{1} = n + 1$ , $a_{2} = a_{3} = ... = a_{k} = 1$ számokra:

\begin{matrix} \sqrt[k]{n + 1} \leq \frac{n + 1 + k - 1}{k} = \frac{n + k}{k} . \end{matrix}

(1)

Az egyenlőtlenséget legalább két számra alkalmaztuk (hiszen

k > 1

), és azok nem lehetnek mind egyenlőek (mert

n + 1 \geq 3 > 1

), ezért (1)-ben szigorú egyenlőtlenség áll. Átrendezve;

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[k]{n + 1}} > \frac{k}{n + k} . \end{matrix}

n

és

k

szerepét felcserélve:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[n]{k + 1}} > \frac{n}{n + k} . \end{matrix}

Ezt a két egyenlőtlenséget összeadva éppen a bizonyítandót kapjuk. Sőt még az is látható, hogy a szigorú egyenlőtlenség akkor is fönnmarad, ha

n

és

k

valamelyike

1

; az

n = k = 1

esetben viszont már egyenlőség áll.

Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján