Kezdőlap


Feladat:	Gy.3030	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Gyenes Zoltán
Füzet:	1996/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/január: Gy.3030

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $a^{2}$ egy 444-re végződő négyzetszám, ekkor $a^{2} = 1000 k + 444$
( $k$ nemnegatív egész), azaz ${(a / 2)}^{2} = 250 k + 111$ . Mivel a jobb oldal egész, így a bal oldal is az; jelöljük $b^{2}$ -tel. Ezt beírva, majd az egyenlőséget átalakítva:

\begin{matrix} \begin{matrix} b^{2} = 250 k + 111 & = 250 (k - 1) + 361 = 250 (k - 1) + 19^{2} \\ (b - 19) (b + 19) & = 250 (k - 1) . & (2) \end{matrix} \end{matrix}

A jobb oldal páros, ezért

b

páratlan; valamint

250 ∣ (b - 19) (b + 19)

. Mivel a két tényező különbsége 38, így csak egyikük lehet 5-tel osztható. Ezek szerint

b = 125 l \pm 19

, illetve mivel

b

páratlan,

l

páros, azaz

b = 250 n \pm 19

(

l

n

nemnegatív egészek), és végül

a = 500 n \pm 38

.
A gondolatmenetet visszafelé alkalmazva látjuk azt is, hogy egy ilyen

a

szám négyzete valóban 444-re végződik.
Végződhet-e 4444-re? Az (1) egyenletnél láttuk, hogy

b

páratlan, így (1) bal oldala 4-gyel osztható. A jobb oldalon viszont

4 ∤ 250

, ezért

2 ∣ k - 1

, vagyis

k

páratlan. Ez azonban azt jelenti, hogy

a^{2}

ezres helyiértékén páratlan szám áll, tehát a 4 nem szerepelhet ott; 4444-re nem végződhet négyzetszám.

Gyenes Zoltán (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 8. o.t.) dolgozata alapján