|
Feladat: |
F.3153 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Fejérvári Bence , Felföldi Zsolt , Gáspár Merse Előd , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jáger Márta , Jakabfy Tamás , Juhász András , Kajtár Márton , Katona Zsolt , Koren Balázs , Kunszenti-Kovács Dávid , Lakos Gergely , Lázár Zsófia , Méder Áron , Megyeri Csaba , Naszvadi Péter , Páles Csaba , Papp Ágnes , Papp Eszter , Pintér Dömötör , Szalai-Dobos András , Terék Zsolt , Várkonyi Péter , Vitéz Gábor , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1997/szeptember,
350 - 351. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tetraéderek, Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Térfogat, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: F.3153 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a tetraéder csúcsait , , , -vel, továbbá az csúccsal szemközti lap súlypontját -val, a -vel szemköztiét -vel, stb. Az , , , szakaszok a tetraéder súlyvonalai. Ismeretes, hogy ezek a szakaszok egy ponton mennek át, ez a pont a tetraéder súlypontja, és pl. (bizonyítása megtalálható a Geometria feladatok gyűjteménye I. 1941. feladatánál). A feladatban szereplő síkok mindegyike átmegy az ponton, hiszen mindegyikük tartalmazza a tetraéder két súlyvonalát. Jelöljük pl. az élen átmenő síkot -sel. Vizsgáljuk a tetraédert. Ennek az csúcsára illeszkedő lapjai a , , síkokban vannak, ezért csak az , és síkok metszenek a belsejébe. Ezek a síkok a háromszög egy-egy súlyvonalát is tartalmazzák, és a tetraédert is és annak alaplapját is hat részre osztják. Könnyen látható, hogy egy háromszöget a súlyvonalai hat egyenlő területű részre osztanak, ezért a szóban forgó síkok a tetraédert hat egyenlő térfogatú részre vágják. A tetraéder térfogata az térfogatának negyede, ugyanis négyszer kisebb távolságra van a laptól, mint . Ugyanezt elmondhatjuk az , és tetraéderekről. Ezért a feladatban említett síkok a tetraédert 24 egyenlő térfogatú részre osztják.
Jáger Márta (Bp., Veres Pálné Gimn., IV. o.t.) és |
Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
|
|