Feladat: F.3153 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Fejérvári Bence ,  Felföldi Zsolt ,  Gáspár Merse Előd ,  Gyenes Zoltán ,  Hangya Balázs ,  Jáger Márta ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Kajtár Márton ,  Katona Zsolt ,  Koren Balázs ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lakos Gergely ,  Lázár Zsófia ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Naszvadi Péter ,  Páles Csaba ,  Papp Ágnes ,  Papp Eszter ,  Pintér Dömötör ,  Szalai-Dobos András ,  Terék Zsolt ,  Várkonyi Péter ,  Vitéz Gábor ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/szeptember, 350 - 351. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tetraéderek, Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: F.3153

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder csúcsait A, B, C, D-vel, továbbá az A csúccsal szemközti lap súlypontját SA-val, a B-vel szemköztiét SB-vel, ... stb. Az ASA, BSB, CSC, DSD szakaszok a tetraéder súlyvonalai. Ismeretes, hogy ezek a szakaszok egy S ponton mennek át, ez a pont a tetraéder súlypontja, és pl. AS:SSA=3:1 (bizonyítása megtalálható a Geometria feladatok gyűjteménye I. 1941. feladatánál). A feladatban szereplő síkok mindegyike átmegy az S ponton, hiszen mindegyikük tartalmazza a tetraéder két súlyvonalát. Jelöljük pl. az AC élen átmenő síkot ACS-sel. Vizsgáljuk a BCDS tetraédert. Ennek az S csúcsára illeszkedő lapjai a BCS, CDS, BDS síkokban vannak, ezért csak az ABS, ACS és ADS síkok metszenek a belsejébe. Ezek a síkok a BCD háromszög egy-egy súlyvonalát is tartalmazzák, és a BCDS tetraédert is és annak BCD alaplapját is hat részre osztják. Könnyen látható, hogy egy háromszöget a súlyvonalai hat egyenlő területű részre osztanak, ezért a szóban forgó síkok a BCDS tetraédert hat egyenlő térfogatú részre vágják. A BCDS tetraéder térfogata az ABCD térfogatának negyede, ugyanis S négyszer kisebb távolságra van a BCD laptól, mint A.
Ugyanezt elmondhatjuk az ABCS, ABDS és ACDS tetraéderekről. Ezért a feladatban említett síkok a tetraédert 24 egyenlő térfogatú részre osztják.

 Jáger Márta (Bp., Veres Pálné Gimn., IV. o.t.) és
 
 Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)