|
Feladat: |
F.3152 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Dedinszky Zsófia , Devecsery András , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Huszár Péter , Juhász András , Kopecsni György , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Nagy István , Naszvadi Péter , Oláh Szabolcs , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pazár Bori , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Prause István , Rudolf Gábor , Salamon Gábor , Szalai-Dobos András , Szilágyi Judit , Szűcs Gábor , Tóth Ádám , Várkonyi Péter , Végh László |
Füzet: |
1997/szeptember,
349 - 350. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Számtani közép, Kvadratikus közép, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: F.3152 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Először megmutatjuk, hogy ha , akkor . A feltételt négyzetre emelve és a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva: Ezután bebizonyítjuk, hogy ekvivalens (1)-gyel. Ismeretes, hogy pl. az súlyvonal: (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye 1673.a feladat). Ezt felhasználva (2) így alakul: | | Négyzetre emelve és rendezve | | A jobb oldalt a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint nála nem kisebb értékkel behelyettesítve, elegendő belátni, hogy . Ez egyben azt jelenti, hogy , és ez az (1) összefüggés. Mivel átalakításaink megfordíthatók, (1)-ből következik (2), tehát a feladat állítását igazoltuk. Az állítás megfordítása hamis, amint ezt az , , példa is mutatja.
II. megoldás. Ha , akkor nem lehet a legnagyobb oldal. Feltehetjük, hogy a legnagyobb oldal , és ezután két esetet kell megnéznünk: 1. és egyenlőség csak az egyik helyen állhat. Az összefüggésből következik, hogy a legnagyobb súlyvonal, tehát most . 2. Legyen most . A feltétel szerint , tehát és nem lehet egyenlő. A feltételi egyenlőtlenségből következik, hiszen a nagyobb oldalt nagyobb számmal szoroztuk. Az , , -re szóló összefüggések szerint: | | ezért (3)-ból azaz | | amiből , hiszen . Tehát , amint ezt bizonyítani kellett. |
|