Feladat: F.3152 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Dedinszky Zsófia ,  Devecsery András ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Huszár Péter ,  Juhász András ,  Kopecsni György ,  Lázár Zsófia ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Naszvadi Péter ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Patakfalvi Zsolt ,  Pazár Bori ,  Pintér Dömötör ,  Pogány Ádám ,  Prause István ,  Rudolf Gábor ,  Salamon Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szilágyi Judit ,  Szűcs Gábor ,  Tóth Ádám ,  Várkonyi Péter ,  Végh László 
Füzet: 1997/szeptember, 349 - 350. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Számtani közép, Kvadratikus közép, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: F.3152

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Először megmutatjuk, hogy ha a<b+c2, akkor sa>sb+sc2. A feltételt négyzetre emelve és a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva:
a2<(b+c2)2b2+c22.(1)
Ezután bebizonyítjuk, hogy
sa>sb+sc2(2)
ekvivalens (1)-gyel. Ismeretes, hogy pl. az sa súlyvonal: sa=122b2+2c2-a2 (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye 1673.a feladat). Ezt felhasználva (2) így alakul:
22b2+2c2-a2>2a2+2c2-b2+2a2+2b2-c2.
Négyzetre emelve és rendezve
7b2+7c2-8a2>2(2a2+2c2-b2)(2a2+2b2-c2).
A jobb oldalt a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint nála nem kisebb értékkel behelyettesítve, elegendő belátni, hogy 7b2+7c2-8a2>4a2+c2+b2. Ez egyben azt jelenti, hogy b2+c22>a2, és ez az (1) összefüggés. Mivel átalakításaink megfordíthatók, (1)-ből következik (2), tehát a feladat állítását igazoltuk.
Az állítás megfordítása hamis, amint ezt az a=4, b=3, c=5 példa is mutatja.
 Több dolgozat alapján 

 
II. megoldás. Ha a<b+c2, akkor a nem lehet a legnagyobb oldal. Feltehetjük, hogy a legnagyobb oldal c, és ezután két esetet kell megnéznünk:
1. abc és egyenlőség csak az egyik helyen állhat. Az sa2=14(2b2+2c2-a2) összefüggésből következik, hogy sa a legnagyobb súlyvonal, tehát most sa>sb+sc2.
2. Legyen most b<ac. A feltétel szerint a-b<c-a, tehát a és c nem lehet egyenlő. A feltételi egyenlőtlenségből
a2-b2<c2-a2(3)
következik, hiszen a nagyobb oldalt nagyobb számmal szoroztuk. Az sa, sb, sc-re szóló összefüggések szerint:
sb2-sa2=34(a2-b2)éssa2-sc2=34(c2-a2),
ezért (3)-ból
sb2-sa2<sa2-sc2,
azaz
(sb-sa)(sb+sa)<(sa-sc)(sa+sc),
amiből sb-sa<sa-sc, hiszen sb+sa>sa+sc. Tehát sa>sb+sc2, amint ezt bizonyítani kellett.