|
Feladat: |
F.3150 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Fejérvári Bence , Jakabfy Tamás , Juhász András , Lázár Zsófia , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Nyul Gábor , Pál András , Páles Csaba , Pintér Dömötör , Szalai-Dobos András , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Végh László , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1997/november,
484 - 485. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/december: F.3150 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy | | (1) | Legyen , , . Ekkor (1) így alakul: , , pontosan akkor páronként különböző, ha , és páronként különböző. Keressük meg ennek a feltételét. Tegyük fel, hogy . Ekkor , amiből vagy . esetén , esetén . Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha vagy . Azaz , , pontosan akkor páronként különböző, ha és . (2)-ből adódik: | | A zárójeleket felbontva kapjuk: | | (3) | Könnyű látni, hogy a fenti egyenletnek és gyöke. Mivel az előzőek szerint sem , sem , így (3)-at eloszthatjuk -vel; ezt kapjuk: Ezt szorzattá alakítva: Tehát vagy , vagy . Átalakításaink ekvivalens volta miatt, ha gyöke a fenti két egyenlet valamelyikének, és , , akkor , , -re teljesül (2). Most már meghatározhatjuk értékét. | |
I. eset: ha , akkor | |
II. eset: ha , akkor | |
Tehát értéke 6 vagy 7 lehet.
Megjegyzés. Sokan a harmadfokú egyenlet megoldóképletével megkeresték lehetséges értékeit, s onnan számolták ki értékét.
|
|