Feladat: F.3150 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fejérvári Bence ,  Jakabfy Tamás ,  Juhász András ,  Lázár Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nyul Gábor ,  Pál András ,  Páles Csaba ,  Pintér Dömötör ,  Szalai-Dobos András ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Végh László ,  Zawadowski Ádám 
Füzet: 1997/november, 484 - 485. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/december: F.3150

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy

q=p(4-p),r=q(4-q),p=r(4-r).(1)
Legyen x=q-2, y=p-2, z=r-2. Ekkor (1) így alakul:
x=2-y2,y=2-z2,z=2-x2.(2)
p, q, r pontosan akkor páronként különböző, ha x, y és z páronként különböző. Keressük meg ennek a feltételét.
Tegyük fel, hogy x=y. Ekkor x=2-x2, amiből x=1 vagy x=-2. x=1 esetén x=y=z=1, x=-2 esetén x=y=z=-2. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha x=z vagy y=z. Azaz x, y, z pontosan akkor páronként különböző, ha x1 és x-2.
(2)-ből adódik:
x=2-y2=2-(2-z2)2=2-(2-(2-x2)2)2.
A zárójeleket felbontva kapjuk:
x8-8x6+20x4-16x2+x+2=0.(3)
Könnyű látni, hogy a fenti egyenletnek x=1 és x=-2 gyöke. Mivel az előzőek szerint sem x-10, sem x+20, így (3)-at eloszthatjuk (x-1)(x+2)-vel; ezt kapjuk:
x6-x5-5x4+3x3+7x2-x-1=0.
Ezt szorzattá alakítva:
(x3-3x-1)(x3-x2-2x+1)=0.
Tehát vagy x3-3x-1=0, vagy x3-x2-2x+1=0. Átalakításaink ekvivalens volta miatt, ha x gyöke a fenti két egyenlet valamelyikének, és y=2-x2, z=2-y2, akkor x, y, z-re teljesül (2).
Most már meghatározhatjuk p+q+r értékét.
p+q+r=x+y+z+6,x+y+z=x+(2-x2)+(2-(2-x2)2)=-x4+3x2+x

I. eset: ha x3-3x-1=0, akkor
x+y+z=-x4+3x2+x=-x(x3-3x-1)=0,p+q+r=x+y+z+6=6.

II. eset: ha x3-x2-2x+1=0, akkor
x+y+z=-x4+3x2+x=-(x+1)(x3-x2-2x+1)+1=1,p+q+r=x+y+z+6=7.

Tehát p+q+r értéke 6 vagy 7 lehet.
 
Megjegyzés. Sokan a harmadfokú egyenlet megoldóképletével megkeresték q lehetséges értékeit, s onnan számolták ki p+q+r értékét.