Tegyük fel, hogy $x\ge y\ge z$. Osszuk le az összeget $4^z={\left(2^z\right)}^2$-nel. Így $4^x+4^y+4^z$ pontosan akkor négyzetszám, ha $4^{x-z}+4^{y-z}+1$ négyzetszám. Legyen $x-z=a$, $y-z=b$, ahol $a\ge b$. Ha $a=b=0$, akkor az összeg 3, ami nem megoldás, tehát feltehetjük, hogy $a>0$. Vizsgáljuk meg, mikor teljesül egy $k$ egészre, hogy $4^a+4^b+1=k^2$, azaz $4^b\left(4^{a-b}+1\right)=\left(k+1\right)\left(k-1\right)$.
1. Ha $a-b=b-1$, azaz $2b-1=a$, akkor $4^a+4^b+1=4^{2b-1}+4^b+1={\left(2^{2b-1}+1\right)}^2$. Tehát $2b-1=a$ esetén az összeg négyzetszám.
2. Ha $a-b<b-1$, akkor megmutatjuk, hogy a $4^b\left(4^{a-b}+1\right)$ számot nem lehet két 2 különbségű egész szám szorzatára bontani. A felbontásban szereplő két szám közül csak az egyik lehet osztható 4-gyel, így ez a szám legalább $2\cdot 4^{b-1}$. A másik szám ekkor legfeljebb $2\cdot \left(4^{a-b}+1\right)$. Mivel $4^{b-1}$ több mint 1-gyel nagyobb $\left(4^{a-b}+1\right)$-nél (mert $b-1>a-b$), ezért $2\cdot 4^{b-1}$ több, mint 2-vel nagyobb $2\cdot \left(4^{a-b}+1\right)$-nél. Vagyis a két szám különbsége nagyobb kettőnél, ami nem felel meg.
3. Végül, ha $a-b>b-1$, azaz $2b-1<a$, akkor $4^a+4^b+1$ azért nem négyzetszám, mert két szomszédos négyzetszám közé esik: