A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy . Osszuk le az összeget -nel. Így pontosan akkor négyzetszám, ha négyzetszám. Legyen , , ahol . Ha , akkor az összeg 3, ami nem megoldás, tehát feltehetjük, hogy . Vizsgáljuk meg, mikor teljesül egy egészre, hogy , azaz . 1. Ha , azaz , akkor . Tehát esetén az összeg négyzetszám. 2. Ha , akkor megmutatjuk, hogy a számot nem lehet két 2 különbségű egész szám szorzatára bontani. A felbontásban szereplő két szám közül csak az egyik lehet osztható 4-gyel, így ez a szám legalább . A másik szám ekkor legfeljebb . Mivel több mint 1-gyel nagyobb -nél (mert ), ezért több, mint 2-vel nagyobb -nél. Vagyis a két szám különbsége nagyobb kettőnél, ami nem felel meg. 3. Végül, ha , azaz , akkor azért nem négyzetszám, mert két szomszédos négyzetszám közé esik: | |
Tehát pontosan akkor négyzetszám, ha , azaz , , ahol és tetszőleges pozitív egész számok.
Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján |
|