Feladat: F.3147 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Gyurkó L. Gergely ,  Györkei Györgyi ,  Horváth Gábor ,  Jeszenszky Gyula ,  Juhász András ,  Kürthy Gábor ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Németh András ,  Nyakas Péter ,  Oláh Szabolcs ,  Páles Csaba ,  Pintér Dömötör ,  Pogány Ádám ,  Rudolf Gábor ,  Salamon Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szilágyi Judit ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Várkonyi Péter ,  Vörös Imre 
Füzet: 1997/április, 222 - 224. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tetraéderek, Szögfüggvények a térben, Terület, felszín, Háromszögek nevezetes tételei, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/november: F.3147

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Jelöljük az ABC lap területét t-vel. Vetítsük rá az ABC háromszöget a másik három lapra. Ha pl. az ABC lap az ABD-vel γ szöget zár be (1. ábra), akkor tcosγ=12DADB. Hasonlóan kapjuk, hogy tcosα=12DBDC és tcosβ=
=12DCDA. A három összefüggés szorzatából:
t3cosαcosβcosγ=18(DADBDC)2.(1)
Vetítsük most a D csúcsot tartalmazó lapokat az ABC-re. A vetületek területének összege nyilván t, ezért
t=12DADBcosγ+12DBDCcosα+12DCDAcosβ.


A számtani és mértani közép közötti összefüggés szerint, felhasználva, hogy α, β, γ mindegyike hegyesszög,
t318(DADBDC)2cosαcosβcosγ3,
majd (1) alapján
t3t3cos2αcos2βcos2γ3,
amiből cosαcosβcosγ39. Egyenlőség pontosan akkor van, ha cosα=cosβ=cosγ, tehát ha az ABC háromszög szabályos.
 Páles Csaba (Debrecen , KLTE Gyak. Gimn., III. o.t.)

 
II. megoldás. Legyen a tetraéder D csúcsa egy derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontja, az A, B, C csúcsok pedig illeszkedjenek az x, y, z tengelyekre (2. ábra).

Legyen továbbá a tetraéder D csúcsából induló magasság talppontja T, a DT-re illeszkedő egységvektor s. Használjuk az ábra további jelöléseit is. Ha az ABD és ABC lap hajlásszöge γ, akkor a CDT szög is γ, hiszen CD az ABD sík, DT pedig az ABC sík normálisa. Hasonlóan kapjuk, hogy ADT=α és BDT=β. Könnyen látható, hogy cosα=is, cosβ=js és cosγ=ks, és így
cosα+cosβ+cosγ=(i+j+k)s==13cosφ3,(2)
ahol φ az s és az i+j+k vektorok szöge. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség és (2) szerint:
cosαcosβcosγ(cosα+cosβ+cosγ3)3(33)3=39,(3)
ahol felhasználtuk, hogy α, β, γ mindegyike hegyesszög. Egyenlőség (2)-ben és (3)-ban is akkor és csak akkor áll fenn, ha α=β=γ, azaz DA=DB=DC, amikoris az ABC háromszög szabályos.
 Bérczi Gergely (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o.t.)

 
III. megoldás. A 2. ábra s egységvektorának koordinátái cosα, cosβ, cosγ, ezért cos2α+cos2β+cos2γ=1. A mértani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség szerint:
cosαcosβcosγ3cos2α+cos2β+cos2γ3=13,
amiből már következik a feladat állítása.