|
Feladat: |
F.3146 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Barát Anna , Barta Ágnes , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Devecsery András , Gerbicz Róbert , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Hesz Zoltán , Jakabfy Tamás , Kajtár Márton , Katona Zsolt , Laczó Tibor , Léka Zoltán , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Nagy István , Nagy Margit , Nyul Gábor , Páles Csaba , Papp Dávid , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Prause István , Prohászka Benedek , Rudolf Gábor , Szalai-Dobos András , Szente Márk Zsombor , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Tóth Ádám , Várkonyi Péter , Végh László , Zábrádi Gergely , Zawadowski Ádám |
Füzet: |
1997/április,
220 - 222. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Köréírt háromszög, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/november: F.3146 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy adott sugarú kör köré írható két egyenlő szárú, nem egybevágó, egyenlő területű háromszög. Az 1. ábrán az egyik ilyen háromszöget rajzoltuk meg, amelynek alapja , szára pedig . Nyilván megválasztható és úgy, hogy legyen, hiszen egy ilyen háromszögbe írható kör, és a kapott ábrát megfelelően nagyítva a beírt kör sugara lesz. Ezután az egységet úgy választjuk meg, hogy legyen. Ismeretes, hogy a háromszög területe , ahol a félkerület. Ezért, ha két háromszög területe és beírt köre egyenlő, akkor a kerületük is egyenlő. Ennek alapján a másik háromszöget úgy próbáljuk meghatározni, hogy alapjának fele, illetve szára , illetve legyen, tehát a kerületek egyenlők, és a területük is egyezzen meg. Az háromszög alaphoz tartozó magassága , a másik háromszögé , a területek egyenlőségének a feltétele: | | (1) | Ezért a második háromszög oldalai , . A és választása és (1) következtében a két háromszög kerülete és területe egyenlő, de akkor a beírt körök sugara is megegyezik, és a háromszögek nem egybevágók. Így a feladat kérdésére ,,igen''-nel válaszolhatunk.
Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.) |
II. megoldás. Legyen az adott kör sugara 1. A 2. ábrán látható egyenlő szárú háromszöget egyértelműen meghatározza a szög. A háromszög területét a három derékszögű deltoid területének összegeként kiszámítva: , ahol . Ismeretes, hogy adott kör köré írt háromszögek közül a legkisebb kerületű a szabályos, ezért a függvénynek a helyen minimuma van. A minimum értéke . A függvény a nyílt intervallumban folytonos, a helyen vett jobb oldali, illetve a helyen vett bal oldali határértéke egyaránt , ezért a függvény a és intervallumokban minden -nál nagyobb értéket felvesz. Lesz tehát a két intervallum egyikében olyan , a másikban olyan , amelyekre , és a két szöghoz tartozó két háromszög nem egybevágó. Sőt, végtelen sok ilyen háromszögpár van.
Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzések. 1. Szita István (Körmend, Kölcsey F. Gimn., IV. o.t.) a függvényt vizsgálta, ahol a kör köré írt egyenlő szárú háromszög alapjának a fele, pedig a területe. Egyik megoldásában megmutatta, hogy értékkészletének minden -nál nagyobb elemét pontosan kétszer veszi fel, ezért létezik két különböző, egyenlő területű háromszög. Egy másik megoldásában konstruált két egyenlő területű háromszöget. A feladat megoldásai összességükben is úgy oszlottak meg, hogy voltak konstruktív megoldások, mint az 1. megoldás, és voltak egzisztenciát igazolók, mint a második. 2. A 2. megoldásban felhasználtuk azt a tényt, hogy a vizsgált függvény minden -nál nagyobb értéket felvesz (két intervallumban is). Pontosan megfogalmazva a következő tétel alkalmazásáról van szó: Ha az függvény az -ben folytonos, akkor az intervallumon fölvesz minden és közötti értéket.
|
|