Feladat:	F.3146	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna ,  Barta Ágnes ,  Bérczi Gergely ,  Czirok Levente ,  Devecsery András ,  Gerbicz Róbert ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hesz Zoltán ,  Jakabfy Tamás ,  Kajtár Márton ,  Katona Zsolt ,  Laczó Tibor ,  Léka Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Méder Áron ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Nagy Margit ,  Nyul Gábor ,  Páles Csaba ,  Papp Dávid ,  Pintér Dömötör ,  Pogány Ádám ,  Prause István ,  Prohászka Benedek ,  Rudolf Gábor ,  Szalai-Dobos András ,  Szente Márk Zsombor ,  Szita István ,  Szűcs Gábor ,  Terék Zsolt ,  Tóth Ádám ,  Várkonyi Péter ,  Végh László ,  Zábrádi Gergely ,  Zawadowski Ádám
Füzet:	1997/április, 220 - 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kör geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Köréírt háromszög, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: F.3146

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Azt fogjuk megmutatni, hogy adott $r$ sugarú kör köré írható két egyenlő szárú, nem egybevágó, egyenlő területű háromszög. Az 1. ábrán az egyik ilyen háromszöget rajzoltuk meg, amelynek alapja $2b$, szára pedig $a$. Nyilván megválasztható $a$ és $b$ úgy, hogy $a:b=3:1$ legyen, hiszen egy ilyen háromszögbe írható kör, és a kapott ábrát megfelelően nagyítva a beírt kör sugara $r$ lesz. Ezután az egységet úgy választjuk meg, hogy $b=1$ legyen. Ismeretes, hogy a háromszög területe $t=r\cdot s$, ahol $s$ a félkerület. Ezért, ha két háromszög területe és beírt köre egyenlő, akkor a kerületük is egyenlő. Ennek alapján a másik háromszöget úgy próbáljuk meghatározni, hogy alapjának fele, illetve szára $b\text{'}=1+x$, illetve $a\text{'}=3-x$ legyen, tehát a kerületek egyenlők, és a területük is egyezzen meg. Az $ABC$ háromszög alaphoz tartozó magassága $\sqrt[]{9-1}=\sqrt[]{8}$, a másik háromszögé $\sqrt[]{{\left(3-x\right)}^2-{\left(1+x\right)}^2}=\sqrt[]{8-8x}$, a területek egyenlőségének a feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\cdot \sqrt[]{8}=\left(1+x\right)\sqrt[]{8-8x}\mathrm{,}\text{amiből}x=\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Ezért a második háromszög oldalai  $2b\text{'}=2\left(1+x\right)=\sqrt[]{5}+1$, $a\text{'}=3-x=\frac{7-\sqrt[]{5}}{2}$. A $b\text{'}$ és $a\text{'}$ választása és (1) következtében a két háromszög kerülete és területe egyenlő, de akkor a beírt körök sugara is megegyezik, és a háromszögek nem egybevágók. Így a feladat kérdésére ,,igen''-nel válaszolhatunk.  Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.)   II. megoldás. Legyen az adott kör sugara 1. A 2. ábrán látható egyenlő szárú háromszöget egyértelműen meghatározza a $\phi$ szög. A háromszög területét a három derékszögű deltoid területének összegeként kiszámítva: $t\left(\phi \right)=\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\frac{\phi }{2}+2\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\frac{\phi }{4}$, ahol $0^{\circ }<\phi <{180}^{\circ }$. Ismeretes, hogy adott kör köré írt háromszögek közül a legkisebb kerületű a szabályos, ezért a $t\left(\phi \right)$ függvénynek a $\phi ={120}^{\circ }$ helyen minimuma van. A minimum értéke $3\sqrt[]{3}$. A függvény a $\left(0^{\circ };{180}^{\circ }\right)$ nyílt intervallumban folytonos, a $\phi =0^{\circ }$ helyen vett jobb oldali, illetve a $\phi ={180}^{\circ }$ helyen vett bal oldali határértéke egyaránt $+\infty$, ezért a függvény a $\left(0^{\circ };{120}^{\circ }\right)$ és $\left({120}^{\circ };{180}^{\circ }\right)$ intervallumokban minden $3\sqrt[]{3}$-nál nagyobb értéket felvesz. Lesz tehát a két intervallum egyikében olyan ${\phi }_1$, a másikban olyan ${\phi }_2$, amelyekre $t\left({\phi }_1\right)=t\left({\phi }_2\right)$, és a két szöghoz tartozó két háromszög nem egybevágó. Sőt, végtelen sok ilyen háromszögpár van.  Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.)   Megjegyzések. 1. Szita István (Körmend, Kölcsey F. Gimn., IV. o.t.) a $t\left(x\right)=\frac{2x^3}{x^2-1}$ függvényt vizsgálta, ahol $x$ a kör köré írt egyenlő szárú háromszög alapjának a fele, $t\left(x\right)$ pedig a területe. Egyik megoldásában megmutatta, hogy $t\left(x\right)$ értékkészletének minden $3\sqrt[]{3}$-nál nagyobb elemét pontosan kétszer veszi fel, ezért létezik két különböző, egyenlő területű háromszög. Egy másik megoldásában konstruált két egyenlő területű háromszöget. A feladat megoldásai összességükben is úgy oszlottak meg, hogy voltak konstruktív megoldások, mint az 1. megoldás, és voltak egzisztenciát igazolók, mint a második. 2. A 2. megoldásban felhasználtuk azt a tényt, hogy a vizsgált függvény minden $3\sqrt[]{3}$-nál nagyobb értéket felvesz (két intervallumban is). Pontosan megfogalmazva a következő tétel alkalmazásáról van szó: Ha az $f\left(x\right)$ függvény az $\left[a;b\right]$-ben folytonos, akkor az $\left[a;b\right]$ intervallumon fölvesz minden $f\left(a\right)$ és $f\left(b\right)$ közötti értéket.