|
Feladat: |
F.3145 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Dedinszky Zsófia , Devecsery András , Fazekas Borbála , Gyenes Zoltán , Gyurkó L. Gergely , Héjjas Péter , Juhász András , Karádi Richárd , Lázár Zsófia , Lippner Gábor , Méder Áron , Megyeri Csaba , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Prohászka Benedek , Szabó Előd , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás |
Füzet: |
1997/december,
538 - 540. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Körülírt kör, Kör geometriája, Feuerbach-kör, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1996/november: F.3145 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat megoldásához szükségünk lesz a következő segédtételre: Legyen a és körök metszéspontja és . Az ponton átmenő tetszőleges egyenes messe a kört -ben, -t pedig -ban. Bizonyítsuk be, hogy a szakasz felezőpontja bármely esetén illeszkedik egy az és pontokon átmenő fix körre.
Az háromszögben állandó (kerületi szög), hasonlóképpen is állandó, vagyis független a és pontok helyzetétől.
Ebből következik, hogy a is állandó. Az felezőpont tehát rajta van az szakasz fölé írt szögű látóköríven. Mégpedig, ha a körbe esik és elválasztja -t és -t, a látókörívnek a körbe eső ívén van (1. ábra). Ha viszont a szakasz felezőpontja a körbe esik és elválasztja -t és -t, akkor az előbb mondott látókörív kiegészítő ívén lesz rajta (2. ábra). Ennek igazolását könnyen leolvashatjuk a 2. ábráról, hiszen most az szakasz -ból szög alatt látszik.
Meg kell vizsgálnunk még azokat az eseteket, amikor nem választja el a és pontokat. Essen most és a körbe. A háromszög két szöge most is és (állandó), ezért az szakasz szögű látóköre átmegy az ponton. Ha és a körbe esik, teljesen hasonló a bizonyítás az előzőhöz, mértani helye most is a kiegészítő körív. A keresett fix kör tehát valóban létezik. Ezután térjünk rá a feladat állításának bizonyítására. A Feuerbach-kör egy háromszögnek az a köre, amely átmegy a háromszög oldalainak felezőpontján, a magasságok talppontjain és a magasságvonalaknak a csúcs és magasságpont közé eső szakaszainak felezőpontján. (Ez összesen 9 pont, ezért is szokták a Feuerbach-kört 9 pontos körnek is nevezni.) E 9 pont közül bármely 3 már meghatározza a kört.
Az háromszög magasságai és (4. ábra), metszéspontjuk . Az húrnégyszög körülírt köre , az háromszög oldala, mint átmérő fölé írt kör . Az és pontok és a szakasz felezőpontja meghatározza az háromszög Feuerbach-körét. A egyenes is és a egyenes is megfelel a segédtételben használt egyenesek egyikének, így a segédtétel szerint felezőpontja, ugyanazt a kört határozza meg az és pontokkal, mint , s ez a kör az háromszög Feuerbach-köre. Ha a háromszög tompaszögű, akkor és szerepet cserél, s a bizonyítás ugyanígy elvégezhető. Ezzel a feladat állítását igazoltuk. |
|