Feladat:	F.3144	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barát Anna ,  Dályay Virág ,  Gyenes Zoltán ,  Hans Zoltán ,  Horváth Gábor ,  Jakabfy Tamás ,  Jeszenszky Gyula ,  Lázár Zsófia ,  Léka Zoltán ,  Lichtnecker Zoltán ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Nagy István ,  Nyul Gábor ,  Páles Csaba ,  Pintér Dömötör ,  Szalai-Dobos András ,  Szilágyi Judit ,  Szita István ,  Terék Zsolt ,  Terpai Tamás ,  Vitéz Gábor
Füzet:	1997/április, 219 - 220. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Polinomok, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/november: F.3144

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A bizonyítandó egyenlőséget négyzetre emelve (a bal oldalon mindegyik tényező pozitív) és $2^{2m-1}$-nel beszorozva a következő alakba írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^{2m-1}\cdot \text{sin}{}^2\frac{\pi }{2m}\cdot \text{...}\cdot \text{sin}{}^2\frac{\left(m-1\right)\pi }{2m}=2m\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a  $\text{sin}x=\text{sin}\left(\pi -x\right)$  azonosság miatt a  $\text{sin}{}^2\frac{k\pi }{2m}=\text{sin}\frac{k\pi }{2m}\cdot \text{sin}\frac{\left(2m-k\right)\pi }{2m}$ ($k=1$, $\text{...}$, $m-1$) és a $\text{sin}\frac{m\pi }{2m}=1$ azonosságot felhasználva az alábbi alakba írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}\frac{\pi }{2m}\cdot 2\text{sin}\frac{2\pi }{2m}\cdot 2\text{sin}\frac{3\pi }{2m}\cdot \text{...}\cdot 2\text{sin}\frac{\left(2m-1\right)\pi }{2m}=2m\mathrm{.}}\end{array}$ A bal oldalon álló tényezőknek fontos geometriai jelentése van: az egyégsugarú körbe írt szabályos $2m$-szög egy csúcsból induló átlóinak hosszai. Megmutatjuk, hogy ez a szorzat $2m$. Legyenek ${\epsilon }_0$, ${\epsilon }_1$, $\text{...}$, ${\epsilon }_{2m-1}$ a $2m$-edik komplex egységgyökök, azaz ${\epsilon }_k=\text{cos}\frac{k\pi }{m}+i\text{sin}\frac{k\pi }{m}$. A feladat $|1-{\epsilon }_1|\cdot |1-{\epsilon }_2|\cdot \text{...}\cdot |1-{\epsilon }_{2m-1}|$ meghatározása. Tekintsük az $f\left(z\right)=\frac{z^{2m-1}}{z-1}=z^{2m-1}+z^{2m-2}+\text{...}+z+1$ polinomot; ennek gyökei éppen ${\epsilon }_1$, $\text{...}$, ${\epsilon }_{2m-1}$, gyöktényezős alakja $f\left(z\right)=\left(z-{\epsilon }_1\right)\text{...}\left(z-{\epsilon }_{m-1}\right)$, és ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle |1-{\epsilon }_1|\cdot |1-{\epsilon }_2|\cdot \text{...}\cdot |1-{\epsilon }_{2m-1}|=|f\left(1\right)|=2m\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Konstruálunk egy alkalmas polinomot, amelynek gyökei az (1) bal oldalán álló tényezők, illetve azok ellentettjei, majd a gyökök szorzatát leolvassuk a polinom együtthatóiból. Legyen $R_n$ az az $n$-edfokú polinom, amelyre $R_n\left(\text{cos}t\right)=\frac{\text{sin}\left(n+1\right)t}{\text{sin}t}$. Ezeket a polinomokat másodfajú Csebisev-polinomoknak nevezik, és a $\text{sin}\left(u+v\right)+\text{sin}\left(u-v\right)=2\text{sin}u\text{cos}v$ azonosság alapján az $\begin{array}{c}{\displaystyle R_0\left(x\right)=1;R_1\left(x\right)=2x;R_{n+1}\left(x\right)=2x{R}_n\left(x\right)-R_{n-1}\left(x\right)}\end{array}$ (1) rekurzióval állíthatók elő. Az $\left(1\right)$ rekurzióból leolvasható, hogy $R_n$ főegyütthatója $2^n$, továbbá a definíció alapján a gyökei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\frac{\pi }{n+1}\mathrm{,}\text{cos}\frac{2\pi }{n+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\text{cos}\frac{n\pi }{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$ Tekintsük most az $f\left(x\right)=\frac{R_{2m-1}\left(x\right)}{x}$ polinomot. (Ez valóban polinom, mert $R_{2m-1}$-nek $0=\text{cos}\frac{\pi }{2}$ gyöke, és ezért kiemelhető belőle $x$.) Az $f$ polinom foka $2m-2$, gyökei a $\text{cos}\left(\frac{\pi }{2}\pm x\right)=\mp \text{sin}x$ azonosság alapján éppen $\begin{array}{c}{\displaystyle \pm \text{sin}\frac{\pi }{2m}\mathrm{,}\pm \text{sin}\frac{2\pi }{2m}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}\pm \text{sin}\frac{\left(m-1\right)\pi }{2m}\mathrm{,}}\end{array}$ főegyütthatója $2^{2m-1}$, konstans tagja $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(0\right)}& {\displaystyle =\underset{x\to 0}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{R_{2m-1}\left(x\right)}{x}=\underset{t\to \frac{\pi }{2}}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{\text{sin}2mt}{\text{sin}t\text{cos}t}=\underset{u\to 0}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{\text{sin}2m\left(\frac{\pi }{2}+u\right)}{\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}+u\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{2}+u\right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(-1\right)}^{m-1}\underset{u\to 0}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{\text{sin}2mu}{\text{sin}u}={\left(-1\right)}^{m-1}2m\underset{u\to 0}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{\frac{\text{sin}2mu}{2mu}}{\frac{\text{sin}u}{u}}={\left(-1\right)}^{m-1}2m\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján a gyökök szorzata: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(-1\right)}^{m-1}\text{sin}{}^2\frac{\pi }{2m}\cdot \text{sin}{}^2\frac{2\pi }{2m}\cdot \text{...}\cdot \text{sin}{}^2\frac{\left(m-1\right)\pi }{2m}={\left(-1\right)}^{2m-2}\frac{f\left(0\right)}{2^{2m-1}}=\frac{{\left(-1\right)}^{m-1}m}{2^{2\left(m-1\right)}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből az állítás azonnal következik.